Розподіл Парето

Із визначення, кумулятивною функцією розподілу імовірностей випадкової величини Парето із параметрами α і x_m є

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

Звідси випливає (шляхом диференціювання) що функцією густини імовірностей є

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

При відображені на графіку, функція густини нагадує вигнуту криву, яка асимптотично наближається до кожної із осей. Всі сегменти кривої є самоподібними (з урахуванням відповідних коефіцієнтів масштабування). При зображенні на логарифмічному графіку, розподіл представляється у вигляді прямої лінії.

• Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Парето визначається як

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$

• Дисперсія випадкової величини, що відповідає розподілу Парето визначається як

${\displaystyle \operatorname {D} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$

(Якщо α ≤ 1, дисперсія не існує.)

• Загальна формула для визначення моментів є наступною:

${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$

• Твірна функція моментів визначена лише для не додатних значень t ≤ 0, оскільки

${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$

${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$

• Характеристична функція випадкової величини визначається як

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$

де Γ(a, x) є неповною Гамма-функцією.

Умовний розподіл імовірностей випадкової величини із розподілом Парето, задає подію що величина є більшою або рівною у порівнянні із певним числом ${\displaystyle x_{1}}$, яке перевищує ${\displaystyle x_{\text{m}}}$, є розподілом Парето із тим самим індексом Парето ${\displaystyle \alpha }$, але із мінімальним ${\displaystyle x_{1}}$ замість ${\displaystyle x_{\text{m}}}$.

Припустимо, що ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ є незалежні однаково розподілені випадкові величини, розподіл імовірностей яких знаходиться в інтервалі supported ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$ для деякого значення ${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$. Припустимо, що для всіх ${\displaystyle n}$, пара випадкових величин ${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ і ${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ є незалежними. Тоді їх спільний розподіл буде розподілом Парето.

Середнє геометричне (G) визначається як:[2]

${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Середнє гармонійне (H) визначається як:[2]

${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Ієрархія розподілів Парето узагальнена у наступній таблиці, яка порівнює функції виживання (доповнена кумулятивна функція розподілу).

Коли μ = 0, розподіл Парето II типу відомий також як розподіл Ломакса.[6]

В даному розділі, символ x_m, що використовується для позначення мінімального значення x, замінено на символ σ.

Розподіли Парето

	${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$	Умова	Параметри
Тип I	${\displaystyle \left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \sigma }$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Тип II	${\displaystyle \left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha }$
Ломакса	${\displaystyle \left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Тип III	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0}$
Тип IV	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha }$

Параметр форми позначено як α, μ - положення, σ це масштаб, γ - параметр нерівності. Деякими особливими випадками розподілу Парето IV типу є:

${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$

Скінченність середнього значення, а також існування і скінченність дисперсії залежить від індексу α (індексу нерівності γ). Зокрема, часткові δ-моменти є скінченними для деяких δ > 0, як показано у таблиці нижче, де δ не обов'язково є цілим числом.

Моменти розподілів Парето I–IV (для випадку μ = 0)

	${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$	Умова	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\delta }]}$	Умова
Тип I	${\displaystyle {\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}}$	${\displaystyle \delta <\alpha }$
Тип II	${\displaystyle {\frac {\sigma }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\delta <\alpha }$
Тип III	${\displaystyle \sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )}$	${\displaystyle -1<\gamma <1}$	${\displaystyle \sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}}$
Тип IV	${\displaystyle {\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\gamma <\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma }$

Феллер[3][5] визначає змінну Парето шляхом перетворення U = Y⁻¹ − 1 випадкової величини Y із Бета-розподілом, функція густини розподілу якої дорівнює

${\displaystyle f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,}$

де B( ) - Бета-функція. Якщо

${\displaystyle W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,}$

тоді W має розподіл Феллера–Парето FP(μ, σ, γ, γ₁, γ₂).[1]

Якщо ${\displaystyle U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)}$ і ${\displaystyle U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)}$ є незалежними Гамма-розподіленими величинами, іншим способом побудувати випадково величину із розподілом Феллера–Парето (ФП) можна як[7]

${\displaystyle W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }}$

і ми запишемо W ~ FP(μ, σ, γ, δ₁, δ₂). Особливими випадками розподілу Феллера–Парето є

${\displaystyle FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).}$

Розподіл Парето пов'язаний із експоненційним розподілом наступним чином. Якщо випадкова величина X має розподіл Парето із мінімумом x_m і індексом α, тоді

${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$

є експоненційно розподіленою величиною із параметром α. Аналогічно, якщо Y експоненційно розподілена випадкова величина із параметром α, тоді

${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$

має розподіл Парето із мінімумом x_m та індексом α.

Це можна використовувати у стандартній процедурі заміни змінної:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$

Крайній вираз задає кумулятивну функцію розподілу для експоненційного розподілу із параметром α.

Розподіл Парето є особливим випадком узагальненого розподілу Парето, який є сімейством розподілів подібної форми, але містить додатковий параметр, що дозволяє обмежити розподіл знизу (в довільній точці), або бути обмеженим зверху і знизу (де обидві межі є змінними), і містить розподіл Ломакса як особливий випадок. До цього сімейства відносяться також обидва зміщений і не зміщений експоненційні розподіли.

Розподіл Парето із масштабом ${\displaystyle x_{m}}$ і формою ${\displaystyle \alpha }$ еквівалентний узагальненому розподілу Парето із зсувом ${\displaystyle \mu =x_{m}}$, масштабом ${\displaystyle \sigma =x_{m}/\alpha }$ і формою ${\displaystyle \xi =1/\alpha }$. І навпаки, можна отримати розподіл Парето із узагальненого розподілу Парето прийнявши, що ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ і ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$.

Розподіл Парето є неперервним розподілом ймовірностей.Закон Ципфа, який іноді називають дзета-розподілом, це дискретний розподіл, який розділяє величини на просте ранжування. Обидва є простим степеневим законом із від'ємним показником, масштабовані так, що їхня кумулятивна функція розподілу дорівнює 1. Розподіл Ципфа можна отримати із розподілу Парето якщо значення ${\displaystyle x}$ (прибутки) ранговані на ${\displaystyle N}$ класів, так що кількість людей в кожному класі визначається відповідно до відношення 1/ранг. Розподіл нормалізують шляхом визначення такого ${\displaystyle x_{m}}$, що ${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$ де ${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$ є узагальненим гармонічним числом. Це дозволяє отримати функцію густини імовірностей для розподілу Ципфа із розподілу Парето.

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$

де ${\displaystyle s=\alpha -1}$ і ${\displaystyle x}$ є цілим числом, що задає ранг від 1 до N де N є найвищим доходом. Таким чином довільно обрана особа (або слово, посилання на вебсайт, або місто) із популяції (або мови, інтернету, чи країни) має ${\displaystyle f(x)}$ ймовірність ранжування ${\displaystyle x}$.

"Правило 80—20", відповідно до якого 20% всіх людей отримують 80% всього прибутку, і 20% з найбільш забезпечених 20% отримують 80% із тих 80%, і так далі, точно дотримується якщо індекс Парето становить α = log₄(5) = log(5)/log(4), приблизно 1.161. Цей результат можна отримати із формули для розподілу Лоренца наведеної нижче. Крім того, було показано що наступні твердження[17] є математично еквівалентними:

• Прибуток розподіляється відповідно до розподілу Парето з індексом α > 1.
• Існує деяке число 0 ≤ p ≤ 1/2 таке що 100p % з усіх людей отримують 100(1 − p)% всього прибутку, і аналогічно для кожного дійсного числа (не обов'язково цілого) n > 0, 100pⁿ % з усіх людей отримують 100(1 − p)ⁿ процентів всього доходу. α і p пов'язані між собою наступним чином

${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p^{n})}{\ln(1-(1-p)^{n})}}}$

Це відноситься не тільки до прибутку, а і до багатства, або будь-чого що може моделювати цей розподіл.

Це включає також розподіли Парето що мають 0 < α ≤ 1, які, як було вказано вище, мають нескінченне математичне сподівання і таким чином не можуть достовірно моделювати розподіл прибутку.

Обмежений розподіл Парето
Параметри	${\displaystyle L>0}$ зсув (дійсне число) ${\displaystyle H>L}$ зсув (дійсне число) ${\displaystyle \alpha >0}$ форма (дійсне число)
Носій функції	${\displaystyle L\leqslant x\leqslant H}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -1}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -1}}}\right),\alpha \neq 1}$
Медіана	${\displaystyle L\left(1-{\frac {1}{2}}\left(1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }\right)\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -2}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -2}}}\right),\alpha \neq 2}$ (це момент другого порядку, не дисперсія)
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot {\frac {\alpha *(L^{k-\alpha }-H^{k-\alpha })}{(\alpha -k)}},\alpha \neq j}$ (це момент k-го порядку, не скошеність)

Обмежений (або обрізаний) розподіл Парето має три параметри: α, L і H. Як і в стандартному розподілі Парето параметр α визначає форму. L означає мінімальне значення, а H позначає максимальне значення.

Функція густини імовірностей є наступною:

${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$,

де L ≤ x ≤ H, і α > 0.

Якщо U is рівномірно розподілена в інтервалі (0, 1), тоді застосувавши метод зворотнього перетворення, отримаємо [23]

${\displaystyle U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}}$

${\displaystyle x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$

є відповідає обмеженому розподілу Парето.

Симетричний розподіл Парето можна визначити за допомогою наступної функції густини імовірностей:[24]

${\displaystyle f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }|x|^{-\alpha -1}&|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{в інших випадках}}.\end{cases}}}$

Він має форму подібну до розподілу Парето при x > x_m є симетричним відображенням відносно вертикальної осі.