Гамма-розподіл

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,}$ де функція ${\displaystyle \Gamma (k)}$ має вигляд

${\displaystyle \Gamma (k)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx}$
і має наступні властивості:

• ${\displaystyle \Gamma (k)=(k-1)\cdot \Gamma (k-1)}$;
• ${\displaystyle \Gamma (0{,}5)={\sqrt {\pi }}}$;

константи ${\displaystyle k,\theta >0}$. Тоді кажуть, що випадкова величина ${\displaystyle X}$ має гамма-розподіл з параметрами ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \theta }$. Пишуть ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$.

Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини ${\displaystyle X}$, яка має гамма-розподіл, мають вигляд

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=k\theta }$,

${\displaystyle \mathbb {D} [X]=k\theta ^{2}}$.

• Якщо ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — незалежні випадкові величини, такі що ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n}$, то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)}$.

• Якщо ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$, і ${\displaystyle a>0}$ — довільна константа, то

${\displaystyle aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )}$.

• Гамма-розподіл нескінченно ділимий.

• Експоненціальний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу:

${\displaystyle \Gamma (1,\theta )\equiv \mathrm {Exp} (1/\theta )}$.

• Якщо ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ — незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\theta ),\;i=1,\ldots ,k}$, то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,\theta )}$.

• Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)}$.

Зокрема, якщо ${\displaystyle n=1}$, то ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$ і

${\displaystyle X^{2}\sim \Gamma \left({\frac {1}{2}},2\right)}$.

• Згідно з центральною граничною теоремою,

при великих ${\displaystyle k}$ гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

${\displaystyle \Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})}$ при

${\displaystyle k\to \infty }$.

• Якщо ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — незалежні випадкові величини такі, що

${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2}$, то

${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})}$.

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл ${\displaystyle \Gamma (1,1)}$ збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то ${\displaystyle \ln U\sim \Gamma (1,1)}$.

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),}$

де U_i — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

1. Нехай m дорівнює 1.
2. Згенеруємо ${\displaystyle V_{2m-1}}$ и ${\displaystyle V_{2m}}$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
3. Якщо ${\displaystyle V_{2m-1}\leq v_{0}}$, де ${\displaystyle v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}}$, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
4. Покладемо ${\displaystyle \xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}}$. Перейти до кроку 6.
5. Покладемо ${\displaystyle \xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}}$.
6. Якщо ${\displaystyle \eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}}$, то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

1. Прийняти ${\displaystyle \xi =\xi _{m}}$ за реалізацію ${\displaystyle \Gamma (\delta ,1)}$.

Таким чином :

${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),}$

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); U_i and V_l розподілені як вказано вище і попарно незалежні.

Графік функції розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Графік щільносі розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр k набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга[1].

Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо

${\displaystyle f_{Y}(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x},x\geq 0,}$

${\displaystyle F_{Y}(x)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}{t^{\alpha -1}e^{-\lambda t}}\,dt.}$

де Γ — гамма-функція,

${\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}\,dt.}$

Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює

${\displaystyle EY={\frac {\alpha }{\lambda }},}$

${\displaystyle VarY={\frac {\alpha }{\lambda }}^{2}.}$

При x → ∞ щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненціальна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненціальному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірні[2].