Ряд Фарея

Якщо невід'ємні нескорочувані правильні дроби зі знаменником, який не перевищує ${\displaystyle n}$, розташувати у порядку зростання, то отримана послідовність називається рядом Фарея порядку ${\displaystyle n}$. Наприклад, ряд Фарея порядку 5:

${\displaystyle F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}},\;{\frac {1}{5}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{3}},\;{\frac {2}{5}},\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {3}{5}},\;{\frac {2}{3}},\;{\frac {3}{4}},\;{\frac {4}{5}},\;{\frac {1}{1}}\right\}.}$

Властивості ряду Фарея:
1) Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ і ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ — два послідовних члени ряду Фарея, то ${\displaystyle ba'-ab'=1.}$
2) Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ${\displaystyle {\frac {a''}{b''}}}$ і ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ — три послідовних члени ряду Фарея, то ${\displaystyle {\frac {a''}{b''}}={\frac {a+a'}{b+b'}}}$ (див. Медіанта (математика)).
3) Число членів ряду Фарея порядку ${\displaystyle n}$ дорівнює ${\displaystyle 1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m),}$ де ${\displaystyle \varphi (m)}$ — функція Ейлера (кількість додатних цілих чисел, які не перевищують ${\displaystyle m}$ і взаємно прості з ${\displaystyle m}$).