Медіанта (математика)

Медіантою двох дробів ${\frac {a}{b}}$ і ${\frac {c}{d}}$ з додатними знаменниками називають дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник — сумі знаменників цих дробів:

{\frac {a+c}{b+d}}.

Властивості

Медіанта двох дробів лежить між ними, тобто: якщо ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$ , то ${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}$ .

Доведення

Ця властивість є наслідком співвідношень

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \over {b(b+d)}}={d \over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

і

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)}}={b \over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Якщо записати 2 дроби, а потім кілька разів між кожними 2 сусідніми дробами їх медіанти, то отримаємо ряд Фарея.

Історія

Поняття медіанти двох дробів увів О. Я. Хінчин[1] у теорії ланцюгових дробів з метою кращого з'ясування взаємного розташування і закону послідовного утворення проміжних дробів. Однак, у теорії ланцюгових дробів, для дослідження проміжних дробів, термін «медіанти» не прижився[2]. В інших математичних науках, наприклад, у математичному аналізі[3] і в теорії звичайних диференціальних рівнянь[4] властивості медіанти n відношень дійсних чисел використовувалися при доведенні деяких положень, хоча саме визначення поняття медіанти не наводилось. Побічно, найширшого використання медіанта n відношень дійсних чисел набула в прикладній математиці, зокрема в математичній статистиці.[5][6][7] Але визначення медіанти в цих роботах також не наведено. Моріс Клайн[8], по суті, заново «відкрив» медіанти, запропонувавши «футбольну арифметику» додавання дробів. Таке додавання М. Клайн використовував для визначення середньої результативності футбольного гравця-нападника за дві гри. Він також розглянув випадки визначення ефективності торгівлі та середньої швидкості автомобіля на основі швидкостей на двох ділянках шляху.

Нині медіанта використовується в демографії[9] і біології[10].

Приклади використання

Примітки

Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1961. 112 с.
Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Мир, 1970. — 104 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. — М.-Л.: Гостехлит, 1947. — 680 с.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматлит, 1959. — 468с.
Сэлтон Г. А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. — М.: Сов. радио, 1973. — 560 с.
Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания. — М.: Статистика, 1978. — 213 с.
Крэйн М., Лемуан О. Введение в регенеративный метод анализа моделей. — М.: Наука, 1982. — 104 с.
Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 434 с.
Сёмкин Б. И., Соболева Т. А. Оценка темпов изменения общей численности населения городов Приморского края // География и природные ресурсы. № 4. 2005. С. 118—123.
Сёмкин Б. И., Горшков М. В., Варченко Л. И. Об изменениях содержания воды в однолетних побегах хвойных древесных растений в умеренной климатической зоне // Сибирский экол. журн. 2008. № 4. Т. 15. С. 537—544.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1961. 112 с.

[2] Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Мир, 1970. — 104 с.

[3] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. — М.-Л.: Гостехлит, 1947. — 680 с.

[4] Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматлит, 1959. — 468с.

[5] Сэлтон Г. А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. — М.: Сов. радио, 1973. — 560 с.

[6] Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания. — М.: Статистика, 1978. — 213 с.

[7] Крэйн М., Лемуан О. Введение в регенеративный метод анализа моделей. — М.: Наука, 1982. — 104 с.

[8] Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 434 с.

[9] Сёмкин Б. И., Соболева Т. А. Оценка темпов изменения общей численности населения городов Приморского края // География и природные ресурсы. № 4. 2005. С. 118—123.

[10] Сёмкин Б. И., Горшков М. В., Варченко Л. И. Об изменениях содержания воды в однолетних побегах хвойных древесных растений в умеренной климатической зоне // Сибирский экол. журн. 2008. № 4. Т. 15. С. 537—544.