Рівняння Вольтерра

Інтегральне рівняння Вольтерри — інтегральне рівняння спеціального виду. Розрізняють рівняння Вольтерри двох типів:

лінійне першого роду

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

та лінійне другого роду

${\displaystyle x(t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds,}$

де ${\displaystyle f(t),\,K(t,s)}$ — відомі функції, ${\displaystyle x(t)}$ — функція, яку потрібно знайти, ${\displaystyle \lambda }$ — комплексний параметр. ${\displaystyle K(t,s)}$ називається ядром інтегрального рівняння, ${\displaystyle f(t)}$ — вільним членом.

Всяке рівняння Вольтерри з неперервним ядром при довільному комплексному параметрі ( ${\displaystyle \lambda \neq \infty }$ ) має єдиний розв'язок, що представляється у вигляді рівномірно збіжного ряду Неймана

${\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+\lambda x_{1}(t)+\lambda ^{2}x_{2}(t)+...,}$

де

${\displaystyle x_{0}(t)=f(t),\qquad x_{i}(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x_{i-1}(s)\,ds.}$