Рівняння Коші — Ейлера

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку двох дійсних коренів

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку подвійного кореня

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку комплексних коренів

Найпоширеніше рівняння Коші-Ейлера — це рівняння другого порядку, що зустрічається у великій кількості фізичних та інженерних проблем, таких як розв'язання рівняння Лапласа в полярних координатах. Його задають рівнянням:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,}$

Ми припускаємо, що пробний розв'язок такий

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

Диференціюємо і отримуємо:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,}$

і

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$

Підставляння в початкове рівняння дає:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

або перевпорядкувавши:

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

Тепер ми можемо розв'язати для m. Тут є три окремих цікавих випадки:

• Випадок #1: Два відмінних корені, m₁ і m₂
• Випадок #2: Один дійсний подвійний корінь, m
• Випадок #3: Комплексні корені, α ± βi

У випадку #1, розв'язок такий:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

У випадку #2, розв'язок такий

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Для отримання другого розв'язку, після знайдення одного розв'язку y = x^m необхідно застосувати метод знижування порядку.

У випадку #3, розв'язок такий

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

Для ${\displaystyle c_{1}\,}$ and ${\displaystyle c_{2}\,}$ в дійсній площині, ця форма розв'язку отримується через встановлення x = e^t і використання формули Ейлера.

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0\,}$

Проведемо таку заміну змінних

${\displaystyle t=\ln(x).\,}$

${\displaystyle y(x)=\phi (\ln(x))=\phi (t).\,}$

Диференціювання:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}-{\frac {d\phi }{dt}}{\bigg )}.}$

Замінив ${\displaystyle \phi (t)}$, ми маємо

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\phi }{dt}}+b\phi =0.\,}$

Це рівняння від ${\displaystyle \phi (t)}$ можна легко розв'язати із використанням характеристичного многочлена

${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$

Тепер, якщо ${\displaystyle \lambda _{1}}$ і ${\displaystyle \lambda _{2}}$ є коренями цього многочлена, аналізуємо два головних випадки: прості корені і подвійний корінь:

якщо корені різні, загальний розв'язок такий

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}$, де показники можуть бути комплексними.

якщо корені однакові, загальний розв'язок такий

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$

в обох випадках, розв'язок ${\displaystyle y(x)}$ можна знайти через установлення ${\displaystyle t=\ln(x)}$, звідси ${\displaystyle \phi (\ln(x))=y(x)}$.

Отже, перший випадок,

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$,

і другий випадок,

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$

Дано

${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$

ми підставляємо простий розв'язок x^α:

${\displaystyle x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha x^{\alpha -1})+3x^{\alpha }=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }=(\alpha ^{2}-4\alpha +3)x^{\alpha }=0\,.}$

Щоб x^α був розв'язком необхідно, щоб або x = 0, що дає нам тривіальний розв'язок, або коефіцієнт x^α дорівнює нулю. Розв'язав квадратичне рівняння, ми маємо α = 1, 3. Загальний розв'язок

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$