Рівняння Швінгера

Рівняння Швінгера — система рівнянь для функцій Гріна у квантовій теорії поля. Запропонована Швінгером у 1951 році. Для отримання рівннянь Швінгера вводять класичні джерела зовнішніх полів. Наприклад, у квантовій електродинаміці частинок зі спіном 1/2 у найпростішому варіанті достатньо додати до лагранжіана взаїмодію квантованого поля фотонів ${\displaystyle A^{\mu }(x)}$ з джерелом зовнішнього електромагнітного поля ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ в мінімальній формі — ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu }}$. За рахунок цього виникає можливість шляхом функціонального вар'ювання за класичним джерелом ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ отримувати функції Гріна з більшою кількістю фотонних кінців. Матриця розсіяння стає функціоналом ${\displaystyle S[J]}$ джерела. Зручно також увести середнє спостережуване значення оператора фотонного поля (з урахуванням квантових поправок):

${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }(x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)}},}$

де ${\displaystyle S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.}$ ${\displaystyle \langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle }$ — среднє значення операторів за станами вакууму в картині взаємодії, символ ${\displaystyle T}$ позначає хронологічне упорядкування операторів, ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}},}$ — варіаційна похідна.