Сила інерції
Си́ла іне́рції — сила спротиву тіла активній силі, яка намагається його прискорити.
- ,
де — сила інерції, m — маса тіла, — прискорення тіла, яке здійснила зовнішня сила.
Сили інерції реальні, бо вони в неінерційній системі координат можуть здійснювати роботу.[1]
Всі реально існуючи системи відліку неінерційні і у всіх них діють реальні пасивні сили інерції у повній відповідності з третім законом Ньютона.
Сила інерції в системі, що обертається
У системі, що обертається довкола осі, сила інерції набирає вигляд:
- ,
де кутова швидкість, а v швидкість об'єкта в системі, що обертається.
Перший доданок у формулі (1) називається силою Коріоліса, ця сила перпендикулярна до швидкості. Другий доданок — це відцентрова сила, а третій враховує кутове прискорення неінерційної системи координат.
Виведення формул виходячи з класичної механіки
Координати і радіус-вектор
Нехай ми маємо інерційну систему координат , яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою .
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат , початок координат якої рухається з часом:
а координатні вектори якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:
Радіус-вектор відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:
Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця складається з координат базисних векторів наступним чином:
Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю зліва на її транспоновану , одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:
а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:
Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої системи координат:
Швидкість
Продиференціюємо формулу (8) по часу:
Позначимо через швидкість руху початку координат:
Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою :
Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці має бути пропорційною вектору кутової швидкості . Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:
де — деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця невироджена і тому однозначно знаходиться за відомою матрицею та її похідною:
Ця матриця антисиметрична, оскільки:
В антисиметричній матриці третього порядку є лише три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:
то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку на цей вектор:
Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:
При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості , пов'язаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості з якою рухається початок координат .
Прискорення
Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:
Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):
Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:
Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):
Третій доданок дорівнює прискоренню відносно рухомої системи координат:
Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення початку координат рухомої системи.
Сили
Ліва частина формули (18) є прискоренням в нерухомій (інерціальній) системі координат, а тому для цього прискорення ми можемо записати другий закон Ньютона:
де — рівнодійна усіх справжніх сил. З формул (18-23) одержуємо:
Вивід формул виходячи із загальної теорії відносності
Формула (1) є формулою класичної механіки, і її можна виводити не звертаючись до теорії відносності. Але вивід цієї (але вже уточненої) формули не складно зробити і в теорії відносності. Виходячи з принципу еквівалентності, в довільній (в тому числі криволінійній) системі координат, добуток маси матеріальної точки на прискорення дорівнює:
де — власний час матеріальної точки, перший доданок (з символами Крістофеля) в правій стороні формули (25) відповідає силам інерції та гравітації, а другий доданок — це реальні сили .
Зосередимося на силах інерції, поклавши , а також вважаючи простір-час плоским, тобто відсутня гравітація, яка виникає внаслідок викривлення простору-часу. В плоскому просторі-часі можна обрати інерційну декартову систему координат , де перша координата напрямлена вздовж осі часу , а решта — це три просторові координати
В цій системі координат метричний тензор є константою, тобто метрикою Мінковського:
і всі символи Крістофеля дорівнюють нулю. В цій системі координат, згідно з (25), сили інерції дорівнюють нулю.
Розглянемо тепер іншу систему координат , в ній символи Крістофеля дорівнюють:
Чотиривимірні координати
Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат даються формулами аналогічними (8):
де коефіцієнти (при ) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати :
і коефіцієнти разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю.
Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:
В формулах (30), (31) індекси пробігають просторові компоненти . У формулі (31) через позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:
Тривимірний образ сил інерції
Величина з одним індексом:
подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінюються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат , ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів при фіксованому часі . Ми можемо ортогонально спроектувати на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора
Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:
Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індексу Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:
Отже нам треба спочатку обчислити метричний тензор в рухомій системі координат.
Метрика в неінерційній системі відліку
Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:
Якщо обидва індекси набувають просторових значень , то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:
оскільки матриця ортогональна. Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:
тобто дорівнюють компонентам швидкості в рухомій системі координат. Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:
Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:
Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:
Продовження обчислень сил інерції
Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:
Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає. Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:
Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля , обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника збігається з матрицею (формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:
Отже сила Коріоліса дорівнює:
Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:
Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:
Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:
а другий:
Як бачимо, доданок (51) знищується з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символу Крістофеля маємо:
Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:
Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:
Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:
Порівняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменник в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що пов'язане з рухом матеріальної точки.
Цікаво, що в формулі (56) для системи координат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати від'ємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.
Примітки
- С. Э. Хайкин, Силы инерции и невесомость, Изд-во: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, М., 1967, 312с.
Джерела
- Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.