Сила інерції

Нехай ми маємо інерційну систему координат ${\displaystyle \{x,y,z\}}$, яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою ${\displaystyle \mathbf {R} }$.
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$, початок координат якої ${\displaystyle \mathbf {R} _{0}}$ рухається з часом:

${\displaystyle (2)\qquad \mathbf {R} _{0}=\mathbf {R} _{0}(t)}$

а координатні вектори ${\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\}}$ якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:

${\displaystyle (3)\qquad \mathbf {a} _{1}=\mathbf {a} _{1}(t),\;\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} _{2}(t),\;\mathbf {a} _{3}=\mathbf {a} _{3}(t)}$

Радіус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:

${\displaystyle (4)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {a} _{1}x_{1}+\mathbf {a} _{2}x_{2}+\mathbf {a} _{3}x_{3}=A\mathbf {x} }$

Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця ${\displaystyle A=A(t)}$ складається з координат базисних векторів наступним чином:

${\displaystyle (5)\qquad A=\left(\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right)={\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{2x}&a_{3x}\\a_{1y}&a_{2y}&a_{3y}\\a_{1z}&a_{2z}&a_{3z}\end{bmatrix}}}$

Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю ${\displaystyle A}$ зліва на її транспоновану ${\displaystyle A^{T}}$, одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:

${\displaystyle (6)\qquad A^{T}A={\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{1y}&a_{1z}\\a_{2x}&a_{2y}&a_{2z}\\a_{3x}&a_{3y}&a_{3z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{2x}&a_{3x}\\a_{1y}&a_{2y}&a_{3y}\\a_{1z}&a_{2z}&a_{3z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3})\\(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3})\\(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3})\end{bmatrix}}}$

а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:

${\displaystyle (7)\qquad A^{-1}=A^{T},\qquad AA^{T}=E={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої системи координат:

${\displaystyle (8)\qquad \mathbf {R} =A\mathbf {x} +\mathbf {R} _{0}}$

Продиференціюємо формулу (8) по часу:

${\displaystyle (9)\qquad {\dot {\mathbf {R} }}={\dot {A}}\mathbf {x} +A{\dot {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {R} }}_{0}}$

Позначимо через ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ швидкість руху початку координат:

${\displaystyle (10)\qquad \mathbf {v} _{0}={\dot {\mathbf {R} }}_{0}}$

Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами ${\displaystyle \{x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)\}}$ відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою ${\displaystyle \mathbf {v} }$:

${\displaystyle (11)\qquad \mathbf {v} =A{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {a} _{1}{dx_{1} \over dt}+\mathbf {a} _{2}{dx_{2} \over dt}+\mathbf {a} _{3}{dx_{3} \over dt}}$

Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці ${\displaystyle A}$ має бути пропорційною вектору кутової швидкості ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$. Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:

${\displaystyle (12)\qquad {\dot {A}}=\Omega A}$

де ${\displaystyle \Omega }$ — деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця ${\displaystyle A}$ невироджена і тому ${\displaystyle \Omega }$ однозначно знаходиться за відомою матрицею ${\displaystyle A}$ та її похідною:

${\displaystyle (13)\qquad \Omega ={\dot {A}}A^{-1}={\dot {A}}A^{T}}$

Ця матриця антисиметрична, оскільки:

${\displaystyle (14)\qquad \Omega ^{T}=\left({\dot {A}}A^{T}\right)=A{\dot {A}}^{T}={d \over dt}\left(AA^{T}\right)-{\dot {A}}A^{T}=-\Omega }$

В антисиметричній матриці третього порядку є лише ${\displaystyle \left(N=C_{n}^{2}=C_{3}^{2}=3\right)}$ три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:

${\displaystyle (15)\qquad \Omega ={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}}$

то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ на цей вектор:

${\displaystyle (16)\qquad \Omega \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega _{y}z-\omega _{z}y\\\omega _{z}x-\omega _{x}z\\\omega _{x}y-\omega _{y}x\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:

${\displaystyle (17)\qquad \mathbf {v} _{abs}={\dot {\mathbf {R} }}={\dot {A}}\mathbf {x} +A{\dot {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {R} }}_{0}=\Omega A\mathbf {x} +\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}$

При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$, пов'язаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості ${\displaystyle \mathbf {v} }$ відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ з якою рухається початок координат ${\displaystyle \mathbf {R} _{0}}$.

Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:

${\displaystyle (18)\qquad {\ddot {\mathbf {R} }}={\ddot {A}}\mathbf {x} +2{\dot {A}}{\dot {\mathbf {x} }}+A{\ddot {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {R} }}_{0}}$

Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):

${\displaystyle (19)\qquad {\ddot {A}}\mathbf {x} ={d \over dt}\left(\Omega A\right)\mathbf {x} ={\dot {\Omega }}A\mathbf {x} +\Omega \left(\Omega A\right)\mathbf {x} ={\dot {\Omega }}\mathbf {r} +\Omega \left(\Omega \mathbf {r} \right)}$

Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:

${\displaystyle (20)\qquad {\ddot {A}}\mathbf {x} ={\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)}$

Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):

${\displaystyle (21)\qquad 2{\dot {A}}{\dot {\mathbf {x} }}=2\Omega A{\dot {\mathbf {x} }}=2\Omega \mathbf {v} =2\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \right)}$

Третій доданок дорівнює прискоренню ${\displaystyle \mathbf {a} }$ відносно рухомої системи координат:

${\displaystyle (22)\qquad A{\ddot {\mathbf {x} }}=\mathbf {a} _{1}{d^{2}x_{1} \over dt^{2}}+\mathbf {a} _{2}{d^{2}x_{2} \over dt^{2}}+\mathbf {a} _{3}{d^{2}x_{3} \over dt^{2}}}$

Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення ${\displaystyle \mathbf {a} _{0}}$ початку координат рухомої системи.

Ліва частина формули (18) є прискоренням ${\displaystyle \mathbf {a} _{abs}}$ в нерухомій (інерціальній) системі координат, а тому для цього прискорення ми можемо записати другий закон Ньютона:

${\displaystyle (23)\qquad \mathbf {F} =m\mathbf {a} _{abs}=m{\ddot {\mathbf {R} }}}$

де ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — рівнодійна усіх справжніх сил. З формул (18-23) одержуємо:

${\displaystyle (24)\qquad m\mathbf {a} =\mathbf {F} -m\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} \right)-m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\right)-2m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \right)-m\mathbf {a} _{0}}$

Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат ${\displaystyle x^{i}=x^{i}({\hat {x}}^{0},{\hat {x}}^{1},{\hat {x}}^{2},{\hat {x}}^{3})}$ даються формулами аналогічними (8):

${\displaystyle (28)\qquad x^{0}={\hat {x}}^{0}=ct}$

${\displaystyle \qquad x^{1}=a_{1}^{1}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{1}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{1}{\hat {x}}^{3}+b^{1}}$

${\displaystyle \qquad x^{2}=a_{1}^{2}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{2}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{2}{\hat {x}}^{3}+b^{2}}$

${\displaystyle \qquad x^{3}=a_{1}^{3}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{3}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{3}{\hat {x}}^{3}+b^{3}}$

де коефіцієнти ${\displaystyle a_{j}^{i},\,b^{i}}$ (при ${\displaystyle i,j=\left\{1,2,3\right\}}$) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати ${\displaystyle {\hat {x}}^{0}=ct}$:

${\displaystyle (29)\qquad a_{j}^{i}=a_{j}^{i}(t),\qquad b^{i}=b^{i}(t)}$

і коефіцієнти ${\displaystyle a_{j}^{i}}$ разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю. Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу ${\displaystyle {\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}$ між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:

${\displaystyle (30)\qquad {\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{0}}=1,\qquad {\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{i}}=0,\qquad {\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}=a_{j}^{i}}$

${\displaystyle (31)\qquad {\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{0}}={1 \over c}\left(\sum _{k=1}^{3}{\dot {a}}_{k}^{i}{\hat {x}}^{k}+{\dot {b}}^{i}\right)={u^{i} \over c}}$

В формулах (30), (31) індекси ${\displaystyle i,j,k}$ пробігають просторові компоненти ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$. У формулі (31) через ${\displaystyle u^{i}}$ позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:

${\displaystyle (32)\qquad \mathbf {u} ={\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }}=\Omega (A\mathbf {x} )+\mathbf {v} _{0}=\Omega \mathbf {r} +\mathbf {v} _{0}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {v} _{0}}$

Величина з одним індексом:

${\displaystyle (33)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m{\hat {\Gamma }}_{jk}^{i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}$

подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінюються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат ${\displaystyle {\hat {x}}^{i}}$, ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор ${\displaystyle {\tilde {F}}^{i}}$ і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів ${\displaystyle {\hat {x}}^{1},{\hat {x}}^{2},{\hat {x}}^{3}}$ при фіксованому часі ${\displaystyle \left(x^{0}=const\right)}$. Ми можемо ортогонально спроектувати ${\displaystyle {\tilde {F}}^{i}}$ на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора

${\displaystyle (34)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=-{\hat {g}}_{ij}{\tilde {F}}^{j}}$

Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:

${\displaystyle (35)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=m{\hat {\Gamma }}_{jk,i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}$

Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індексу ${\displaystyle i=\{1,2,3\}.}$ Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:

${\displaystyle (36)\qquad {\hat {\Gamma }}_{jk,i}={1 \over 2}\left({\partial {\hat {g}}_{ik} \over \partial {\hat {x}}^{j}}+{\partial {\hat {g}}_{ji} \over \partial {\hat {x}}^{k}}-{\partial {\hat {g}}_{jk} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)}$

Отже нам треба спочатку обчислити метричний ${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}}$ тензор в рухомій системі координат.

Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:

${\displaystyle (37)\qquad {\hat {g}}_{ij}={\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{l} \over \partial {\hat {x}}^{j}}={\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{j}}-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}$

Якщо обидва індекси ${\displaystyle i,j}$ набувають просторових значень ${\displaystyle i=\{1,2,3\}}$, то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:

${\displaystyle (38)\qquad {\hat {g}}_{ij}=-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{j}}=-\sum _{k=1}^{3}a_{i}^{k}a_{j}^{k}=-(A^{T}A)_{ij}=-\delta _{ij}}$

оскільки матриця ${\displaystyle A}$ ортогональна. Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:

${\displaystyle (39)\qquad {\hat {g}}_{0i}=-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{0}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}=-\sum _{k=1}^{3}{u^{k} \over c}a_{i}^{k}=-{1 \over c}(A^{-1}\mathbf {u} )_{i}}$

тобто дорівнюють компонентам швидкості ${\displaystyle {\mathbf {u} \over c}}$ в рухомій системі координат. Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:

${\displaystyle (40)\qquad {\hat {g}}_{00}=\left({\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{0}}\right)^{2}-\sum _{k=1}^{3}\left({\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{0}}\right)^{2}=1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}}$

Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:

${\displaystyle (41)\qquad ({\hat {g}}_{ij})={\begin{bmatrix}1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}&-{u_{x} \over c}&-{u_{y} \over c}&-{u_{z} \over c}\\-{u_{x} \over c}&-1&0&0\\-{u_{y} \over c}&0&-1&0\\-{u_{z} \over c}&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:

${\displaystyle (42)\qquad c^{2}(d\tau )^{2}={\hat {g}}_{ij}d{\hat {x}}^{i}d{\hat {x}}^{j}=\left(1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}\right)(d{\hat {x}}^{0})^{2}+2\sum _{i=1}^{3}\left(-{u^{i} \over c}\right)d{\hat {x}}^{0}d{\hat {x}}^{i}-\sum _{i=1}^{3}(d{\hat {x}}^{i})^{2}=\left(c^{2}-(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}\right)dt^{2}}$

${\displaystyle (43)\qquad d\tau ={\sqrt {1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}dt}$

Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:

${\displaystyle (44)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=m{\hat {\Gamma }}_{00,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }+2m\sum _{j=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{0j,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }+m\sum _{j,k=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{jk,i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}$

Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає. Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:

${\displaystyle (45)\qquad {\hat {\Gamma }}_{0j,i}={1 \over 2}\left({\partial {\hat {g}}_{ij} \over \partial {\hat {x}}^{0}}+{\partial {\hat {g}}_{0i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}-{\partial {\hat {g}}_{0j} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)}$

Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами ${\displaystyle \{ij\}}$ матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля ${\displaystyle \mathbf {u} }$, обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника ${\displaystyle -{1/c}}$ збігається з матрицею ${\displaystyle \Omega }$ (формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:

${\displaystyle (46)\qquad {\hat {\Gamma }}_{0j,i}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial {\hat {x}}^{j}}(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} )_{i}-{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} )_{j}\right)=}$

${\displaystyle =-{1 \over 2c}\left({\partial \over \partial {\hat {x}}^{j}}(A^{T}{\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+A^{T}{\dot {\mathbf {b} }})_{i}-{\partial \over {\hat {\partial }}x^{i}}(A^{T}{\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})_{i}\right)=-{1 \over c}\left(A^{T}{\dot {A}}\right)_{ij}=-{1 \over c}\left(A^{T}\Omega A\right)_{ij}}$

Отже сила Коріоліса дорівнює:

${\displaystyle (47)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=2m\sum _{j=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{0j,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }=-2m{1 \over c}\sum _{j=1}^{3}\left(A^{T}\Omega A\right)_{ij}c({dt \over d\tau })^{2}{d{\hat {x}}^{j} \over dt}}$

Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:

${\displaystyle (48)\qquad \mathbf {F} _{Corr}=-{2m({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ) \over 1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}$

Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:

${\displaystyle (49)\qquad {\hat {\Gamma }}_{00,i}={1 \over 2}\left(2{\partial {\hat {g}}_{0i} \over \partial {\hat {x}}^{0}}-{\partial {\hat {g}}_{00} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)={1 \over c}{\partial \over \partial t}\left(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} \right)_{i}-{1 \over 2}{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}\left(1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}\right)}$

Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для ${\displaystyle \mathbf {u} }$ із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:

${\displaystyle (50)\qquad -{1 \over c^{2}}{\partial \over \partial t}{\bigg |}_{{\hat {x}}=const}\left(A^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})\right)_{i}=-{1 \over c^{2}}\left[{\dot {A}}^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})+A^{T}({\ddot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {b} }})\right]_{i}}$

а другий:

${\displaystyle (51)\qquad {1 \over 2c^{2}}{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})^{2}={1 \over c^{2}}\left[{\dot {A}}^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})\right]_{i}}$

Як бачимо, доданок (51) знищується з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символу Крістофеля маємо:

${\displaystyle (52)\qquad {\hat {\Gamma }}_{00,i}=-{1 \over c^{2}}\left(A^{T}({\ddot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {b} }})\right)_{i}}$

Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:

${\displaystyle (54)\qquad -{1 \over c^{2}}\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+\mathbf {a} _{0}\right)}$

Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:

${\displaystyle (55)\qquad m{\hat {\boldsymbol {\Gamma }}}_{00}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }=-{m \over c^{2}}\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+\mathbf {a} _{0}\right)\left(c{dt \over d\tau }\right)^{2}={-m({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} )-m({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ))-m\mathbf {a} _{0} \over 1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}$

Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:

${\displaystyle (56)\qquad {\tilde {\mathbf {F} }}={{-m\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} \right)-m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\right)-2m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \right)-m\mathbf {a} _{0}} \over {1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}}$

Порівняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменник в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що пов'язане з рухом матеріальної точки.

Цікаво, що в формулі (56) для системи координат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати від'ємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.