Принцип еквівалентності

Подивимось, як цей принцип відбивається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою ${\displaystyle m}$. Натуральний параметр цієї лінії позначимо ${\displaystyle s}$, він пропорційний власному часу матеріальної точки ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle (1)\qquad s=c\tau }$

де ${\displaystyle c}$ — швидкість світла. Різниця ${\displaystyle ds}$ натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він пов'язаний з приростами координат такою формулою:

${\displaystyle (2)\qquad (ds)^{2}=c^{2}(d\tau )^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

Одиничний дотичний до світової лінії вектор ${\displaystyle \nu ^{i}}$ є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості ${\displaystyle v^{i}={dx^{i} \over d\tau }}$:

${\displaystyle (3)\qquad \nu ^{i}={dx^{i} \over ds}={v^{i} \over c}}$

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

${\displaystyle (4)\qquad k^{i}={D\nu ^{i} \over Ds}={d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}}$

У спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки пов'язане із силою такою формулою:

${\displaystyle (5)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=F^{i}}$

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то можна замість другої похідної за часом підставити вектор кривини ${\displaystyle k^{i}}$ з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до такої тензорної формули:

${\displaystyle (6)\qquad mc^{2}\left({d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}\right)=F^{i}}$

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані у векторі ${\displaystyle F^{i}}$. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:

${\displaystyle (7)\qquad k^{i}={F^{i} \over mc^{2}}}$

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком у формулі (6), пов'язаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок у праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу ${\displaystyle {\tilde {F}}^{i}}$ (еф з тильдою):

${\displaystyle (8)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=-m_{0}\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }+F^{i}={\tilde {F}}^{i}+F^{i}}$

Звернемо увагу, що масу ${\displaystyle m}$ у лівій частині формули (6) винесено за дужки, а тому при розкритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

${\displaystyle (9)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}}$

і гравітаційна маса, яка стоїть множником у формулі для гравітаційної сили:

${\displaystyle (10)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }}$

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить у сталий тензор Мінковського:

${\displaystyle (11)\qquad (g_{ij})={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix}}}$

Нехай розглядається деякий процес, у якому бере участь деяка кількість «зовнішніх» (різних) частинок, що можуть взаємодіяти із безмасовими частинками спіну 2 (як відомо, безмасове поле спіральності 2 описує гравітаційне поле). Нехай ці частинки випромінюють «м'які» гравітони (з імпульсом ${\displaystyle \ q\to 0}$). На мові діаграм частинкам відповідають зовнішні лінії. Якщо врахувати можливість випромінювання фотону із кожної зовнішньої лінії, то сумарна амплітуда такого процесу набуде вигляду

${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }=M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }p_{n}^{\nu }\varepsilon _{\mu \nu }(q)}{(q\cdot p_{n})}}}$.

Тут ${\displaystyle \ p_{n}}$ — 4-імпульс зовнішньої частинки, ${\displaystyle \ \eta _{n}=\pm 1}$ дорівнює одиниці для кінцевої частинки і мінус одиниці для початкової, ${\displaystyle \ f_{n}}$ — константа взаємодії даної ${\displaystyle \ n}$-ої частинки та гравітонів, ${\displaystyle \ \varepsilon _{\mu \nu }(q)}$ — поляризаційний тензор гравітона, ${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }^{0}}$ — амплітуда процесу без урахування випромінювання «м'яких» гравітонів.

Умова лоренц-інваріантності процесу вимагає, щоб

${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }(p_{n}\cdot q)}{(q\cdot p_{n})}}=\sum _{n}f_{n}\eta _{n}=0}$.

Як відомо, у будь-яких процесах зберігається 4-імпульс. Це вимагає, щоб усі константи взаємодії були однаковими: ${\displaystyle \ f_{n}=f}$. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняється від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності).