Спряжені числа

Для довільних комплексних чисел ${\displaystyle z}$ та ${\displaystyle w}$:

• ${\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ є дійсним числом

• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всіх цілих ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$

• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }$, (тобто, спряження є інволюцією)

• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

• Якщо ${\displaystyle \phi \,}$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено ${\displaystyle \phi (z)\,}$, то

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!}$

Зокрема:

• ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}$
• ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}$, якщо z не дорівнює нулю.
• Якщо ${\displaystyle p}$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і ${\displaystyle p(z)=0\!\,}$, то також ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

• ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$
• ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$
• ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (якщо z не дорівнює нулю).