Голоморфна функція

Нехай ${\displaystyle z=x+iy}$ позначає змінну комплексну величину, а ${\displaystyle x,y}$ відповідно її дійсна і уявна складові. Тоді комплексну функцію комплексної змінної можна записати як ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x+iy)+iv(x+iy).}$Тобто задання комплексної функції комплексної змінної рівнозначне заданню двох дійсних функцій двох дійсних аргументів. Подібна рівнозначність дає два можливих узагальнення поняття диференційовності на функції комплексної змінної.

Функцію ${\displaystyle f}$ визначену в деякому околі точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ називають комплексно диференційовною в точці ${\displaystyle z_{0}}$, якщо існує границя:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

У цьому виразі границя береться по всіх послідовностях комплексних чисел, що сходяться до ${\displaystyle z_{0}}$. Для всіх таких послідовностей даний вираз має сходитися до одного і того ж комплексного числа ${\displaystyle f'(z_{0}).}$ Дане визначення є природним узагальненням похідної дійсної функції.

Якщо ж розглядати функцію, як функцію двох дійсних змінних ${\displaystyle f(x+iy),}$ то можна визначити дійсний диференціал функції як:

${\displaystyle df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy,\;}$ де ${\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x},\;{\partial f \over \partial y}={\partial u \over \partial y}+i{\partial v \over \partial y}.}$

Функція, що є комплексно диференційовною в точці ${\displaystyle z_{0}}$, є в ній дійсно диференційовною. Натомість дійсно диференційовна функція є комплексно диференційовною якщо її часткові похідні задовольняють умови Коші — Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Якщо визначити диференціальні оператори ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$ то умови Коші — Рімана можна переписати як ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0.}$

Функція називається голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}}$ якщо вона є комплексно диференційовною в усіх точках деякого околу точки ${\displaystyle z_{0}}$, тобто для якої існує визначена вище комплексна границя або, еквівалентно, функція є дійсно диференційовною і задовольняє умови Коші — Рімана. Функція називається голоморфною в множині ${\displaystyle U}$ якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини ${\displaystyle V}$ для якої ${\displaystyle U\subset V.}$

• Для областей (відкритих зв'язаних множин) голоморфність на множині еквівалентна комплексній диференційовності в усіх точках області. Для загальних множин це не так; наприклад голоморфність в точці є сильнішою умовою, ніж комплексна диференційовність в точці. Прикладом може бути функція ${\displaystyle f(z)=z{\bar {z}},}$ яка є диференційовною але не голоморфною в точці 0.

• Існування часткових похідних ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial v}{\partial x}}}$ і виконання умов Коші — Рімана не є достатньою умовою комплексної диференційовності. Прикладом може бути функція

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}{\frac {({\bar {z}})^{2}}{z}},&z\not =0\\0,&z=0\end{cases}}.}$

В точці ${\displaystyle z=0}$ часткові похідні по дійсних змінних існують і рівні ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=1,\;\;{\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=i,}$ тобто умови Коші — Рімана в цій точці виконуються. Натомість комплексна похідна ${\displaystyle f'(0)}$ не є визначеною. Дійсно, якщо у означенні похідної прямувати до точки ${\displaystyle 0}$ по множині дійсних чисел то границя у означенні буде рівною:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+i0)-f(0)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {({\bar {x}})^{2}/x-0}{x}}=1.}$

Натомість, якщо прямувати по прямій ${\displaystyle x=y}$ то

${\displaystyle \lim _{x+ix\to 0}{\frac {f(x+ix)-f(0)}{x+ix}}=\lim _{x+ix\to 0}{\frac {x^{2}{\overline {(1+i)^{2}}}}{x^{2}(1+i)^{2}}}={\frac {-2i}{2i}}=-1.}$

• Іншим прикладом до попереднього зауваження є функція

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}e^{-1/z^{4}},&z\not =0\\0,&z=0\end{cases}}.}$

Для неї всі часткові похідні в точці ${\displaystyle z=0}$ існують і рівні нулю, тобто задовольняють умови Коші — Рімана але в цій точці функція навіть не є неперервною.

• Натомість згідно теореми Лумана — Меньшова, якщо у деякій відкритій підмножині комплексної площини функція є неперервною, часткові похідні існують у кожній точці і всюди задовольняються умови Коші — Рімана, то функція є голоморфною у кожній точці множини.

Функція ${\displaystyle f(z)}$ комплексної змінної називається голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ якщо існує деякий окіл точки ${\displaystyle z_{0}}$ в якому дана функція рівна сумі степеневого ряду (який називається рядом Тейлора функції у точці ${\displaystyle z_{0}}$):

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$.

Функція називається голоморфною в множині ${\displaystyle U}$ якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини ${\displaystyle V}$ для якої ${\displaystyle U\subset V.}$

Еквівалентність двох означень є однією з найважливіших властивостей голоморфних функцій.

Функція, що є голоморфною в усій множині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ називається цілою функцією. Цілі функції є сумами свого ряду Тейлора в будь-якій точці (цей ряд завжди буде збіжним на всій комплексній площині). Прикладами цілих функцій є:

• Многочлени ${\displaystyle \textstyle z\mapsto \sum _{j=0}^{n}a_{j}z^{j}}$ де коефіцієнти ${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {C} }$. Ціла функція є многочленом тоді і тільки тоді коли її ряд Тейлора має скінченну кількість доданків. Окремими випадками є константи, лінійні функції, квадратичні функції.

• Експонента ${\displaystyle \exp(z)}$ для якої ряд Тейлора має вигляд: ${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots .}$

• Тригонометричні функції ${\displaystyle \sin }$ і ${\displaystyle \cos }$
  • ${\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$
  • ${\displaystyle \cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}}$

• Гіперболічні функції ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ і ${\displaystyle \operatorname {ch} }$
  • ${\displaystyle \operatorname {sh} z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}}$

• Раціональні функції є голоморфними на всій множині комплексних чисел за винятком скінченної множини (специфічної для кожної окремої раціональної функції), в якій функція має полюс.
• Логарифмічна функція ${\displaystyle \log }$ на множині ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus {]{-}\infty ,0]}}$ буде голоморфною, якщо з нескінченної множини можливих значень в кожній точці вибрати єдине так щоб функція була неперервною. Щоб вирішити проблему з багатозначністю потрібно розглядати аналітичні продовження і багатозначні функції або поверхні Рімана.

Прикладами функцій, що не є голоморфними в жодній точці є:

• Абсолютна величина ${\displaystyle z\mapsto |z|}$

• Дійсна частина комплексного числа ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Re} (z)}$ і уявна частина комплексного числа ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Im} (z)}$.

• Комплексне спряження ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$

Одними з найважливіших результатів теорії голоморфних функцій є ряд результатів про властивості лінійних інтегралів:

• Інтегральна теорема Коші. Якщо γ є спрямлюваною простою замкнутою кривою в однозв'язній області U в якій функція f : U → C є голоморфною то для лінійного інтегралу завжди

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

• Теорема Морери є оберненим твердженням яке разом разом з інтегральною теоремою Коші фактично є ще одним визначенням голоморфних функцій але лише в однозв'язних областях.
• Інтегральна формула Коші. При тих же припущеннях, що і вище значення голоморфної функції в любій точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ повністю визначається значеннями функції на самій кривій:

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.}$

• Також аналогічні формули існують і для обчислення значень похідних функції в точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ:

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,dz.}$

Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ не є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ але є голоморфною в усіх інших точках деякого околу ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$ то ця точка називається особливою. Багато властивостей функції в області голоморфності може залежати від властивостей особливої точки.

• Так в деякому околі особливої точки ${\displaystyle z_{0}}$ (в якому функція є голоморфною всюди окрім ${\displaystyle z_{0}}$) функція розкладається в ряд Лорана, що є узагальненням ряду Тейлора де крім додатних можуть бути і від'ємні степені змінної.

• Особливе значення має коефіцієнт при ${\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}$ у цьому розкладі, який називається лишком. Основна теорема про лишки є узагальненням інтегральної теореми Коші на випадок коли в області обмеженій кривою є особливі точки.
• Поведінка функції в околі особливої точки залежить від того чи є ця точка усувною, полюсом, чи суттєвою особливою точкою.
• Функція, що є голоморфною всюди в деякій області окрім множини ізольованих точок, що є полюсами називається мероморфною. Кожна мероморфна в області функція є часткою двох голоморфних в області функцій.

• Образом області (відкритої зв'язаної множини) при голоморфній функції буде теж область.
• Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ і також ${\displaystyle f'(z_{0})\not =0,}$ то відображення є конформним тобто зберігає кути.
• Якщо в області ${\displaystyle U}$ голоморфна функція є ін'єктивною то всюди ${\displaystyle f'(z)\not =0,}$ тобто функція визначає взаємно-однозначне конформне відображення.
• Теорема Рімана про відображення. Для довільної однозв'язної відкритої підмножини ${\displaystyle U}$ комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , що не збігається з усією ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , існує бієктивне голоморфне відображення ${\displaystyle f\,}$ із множини ${\displaystyle U\,}$ на відкритий одиничний круг${\displaystyle D=\{z\in {\mathbb {C} }:|z|<1\}.}$

Нехай ${\displaystyle U}$ є відкритою зв'язаною підмножиною комплексної площини і ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ позначає множину голоморфних функцій на ${\displaystyle U.}$ Із операціями поточкового додавання і множення функцій ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є комутативним кільцем. Із операцією множення на комплексні числа ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є алгеброю над полем ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• Кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є областю цілісності (що є наслідком теореми про рівність) і навіть кільцем Безу. Проте ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ не є факторіальним кільцем.
• Кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ не є нетеровим.
• Теорема Берса. Якщо ${\displaystyle U,U'}$ є двома відкритими зв'язаними підмножинами комплексної площини, то відображення ${\displaystyle F:\ {\mathcal {H}}(U')\to {\mathcal {H}}(U)}$ є гомоморфізмом алгебр тоді і тільки тоді, коли існує голоморфна функція ${\displaystyle \varphi$ :\ U\to U'} така, що ${\displaystyle F(f)=f\circ \varphi }$ для кожної функції ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(U').}$ Така функція ${\displaystyle \varphi$ :\ U\to U'} у цьому випадку є визначеною однозначно і якщо ${\displaystyle F:\ {\mathcal {H}}(U')\to {\mathcal {H}}(U)}$ є ізоморфізмом, то вона є голоморфним ізоморфізмом.
• Будь-які дві функції ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(U),}$ для яких не існує жодної точки в якій обидві функції є рівними нулю, породжують кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U).}$
• Нехай ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {H}}(U).}$ Тоді функція ${\displaystyle g\in {\mathcal {H}}(U)}$ належить ідеалу породженому цими функціями, якщо і тільки якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in U}$ росток ${\displaystyle g_{x}}$ належить ідеалу, породженому ростками ${\displaystyle f_{1,x},\ldots ,f_{n,x}.}$
• Кожен скінченнопороджений ідеал у ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є головним. Ідеал у ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є скінченнопородженим (і тому головним) тоді і тільки тоді, коли він є замкненою підмножиною ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ у компактно-відкритій топології.

Означення голоморфності переноситься і на випадок функцій багатьох комплексних змінних, тобто функцій виду ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ :(z_{1},\ldots ,z_{n})\to f(z_{1},\ldots ,z_{n}).} Для цього випадку теж можна записати комплексні змінні через дійсні і уявні складові ${\displaystyle z_{k}=x_{k}+iy_{k},}$ комплексну функцію через дві дійсні функції ${\displaystyle f=u+iv}$ і ввести позначення ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{k}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right)}$ і${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right).}$

Якщо функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ є диференційовною як функція 2n дійсних змінних ${\displaystyle x_{k},y_{k},\;\;k=1,...,n}$ то у введених позначеннях її (дійсний) диференціал можна записати як:

${\displaystyle df=\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial z_{k}}dz_{k}+\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial {\bar {z}}_{k}}d{\bar {z}}_{k}.}$

Функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ називається комплексно диференційовною в точці, якщо насправді можна записати в цій точці ${\displaystyle df=\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial z_{k}}dz_{k},}$ що є еквівалентним виконанню в цій точці системи Коші — Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{k}}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{k}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{k}}},\;\;k=1,...,n}$

Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в околі цієї точки. Функція називається голоморфною у відкритій множині, якщо вона є голоморфною в кожній точці множини.

Як і у випадку функцій однієї змінної можна дати еквівалентне означення за допомогою збіжних степеневих рядів. Функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ називається голоморфною в точці ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$, якщо існує окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle a}$ в усіх точках якого:

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}.}$

З теорем Хартогса і Осґуда випливає, що для голоморфності функції достатньою є її голоморфність по кожній змінній при фіксованих інших.

Багато властивостей голоморфних функцій однієї змінної переносяться на випадок багатьох змінних.

• Суми, добутки, множення на скаляр, частки (коли дільник не рівний нулю в множині) голоморфних в множині функцій теж є голоморфними в цій множині.
• Голоморфні функції є нескінченно диференційовними і в розкладі в ряд Тейлора коефіцієнти рівні${\displaystyle c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z)={\frac {(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,\left({\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial z_{1}^{k_{1}}\cdots \partial z_{n}^{k_{n}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{n})}$
• Якщо ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною, то і ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z_{k}}}}$ є голоморфною функцією.
• Якщо функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=u(z_{1},\ldots ,z_{n})+iv(z_{1},\ldots ,z_{n})}$є голоморфною, то дійсні функції ${\displaystyle u,v}$ є плюрігармонічними.
• Нехай ${\displaystyle f_{j}(z):U\to \mathbb {C} }$ є послідовністю функцій, що є голоморфними у відкритій множині ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$. Нехай дана послідовність рівномірно збігається до функції ${\displaystyle f(z):U\to \mathbb {C} }$. Тоді ${\displaystyle f}$ є голоморфною у множині ${\displaystyle U}$.
• Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).
• Нехай ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ і ${\displaystyle f(a)=0.}$ Тоді існує таке невироджене лінійне перетворення змінних, що в деякому околі точки a функція матиме вид:

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=h(z_{1},\ldots ,z_{n})\left(\sum _{j=0}^{k-1}g_{j}(z_{2},\ldots ,z_{n})(z_{1}-a_{1})^{j}+(z_{1}-a_{1})^{k}\right),}$

де ${\displaystyle h(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ — голоморфна функція в зазначеному околі, ніде не рівна на ньому нулю, ${\displaystyle g_{j}(z_{2},\ldots ,z_{n})}$ — голоморфні функції в n- 1 змінної в околі точки ${\displaystyle (a_{2},\ldots ,a_{n})}$, що рівні нулю в точці ${\displaystyle a.}$

• Наслідком з попередньої формули є те, що в малому околі довільного нуля голоморфної функції n змінних (не константи) розмірність простору нулів рівна n- 1. Зокрема для голоморфних функцій більш, ніж однієї змінної ізольованих нулів немає.
• Узагальнена формула Коші. Визначивши замкнутий полікруг

${\displaystyle {\bar {D}}(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert \leqslant r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}}$,

відкритий полікруг ${\displaystyle D(z,r)}$ аналогічно лише зі строгими нерівностями і його остов

${\displaystyle T(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert =r_{k},\forall k=1,\dots ,n\},}$,

багатовимірний варіант формули Коші можна записати як:

${\displaystyle f(w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{T(z,r)}{\frac {f(\xi )}{(\xi _{1}-w_{1})(\xi _{2}-w_{2})\cdots (\xi _{n}-w_{n})}}\,d\xi ,\;\;\;\forall (w_{1},\ldots ,w_{n})\in D(z,r).}$