Стала Ердеша — Борвейна

Стала Ердеша — Борвейна — математична стала, що дорівнює сумі обернених величин чисел Мерсенна. Названа за іменами Пала Ердеша і Пітера Борвейна, які з'ясували її ключові властивості.

За визначенням стала дорівнює:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}

,

що приблизно становить 1, 606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 418 420 743 486 690 565 711 801 670 155 576…[1].

Еквівалентні форми

Можна показати, що такі суми дають ту саму сталу:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}

,

E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}

,

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}

,

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}

,

де $\sigma _{0}(n)=d(n)$ — мультиплікативна функція дільників, рівна числу додатних дільників числа $n$ . Для доведення еквівалентності цих формул використовується той факт, що всі вони представляють ряд Ламберта[2].

Ірраціональність

Ердеш 1948 року показав, що стала є ірраціональним числом[3]. Пізніше Борвейн надав альтернативне доведення[4].

Попри ірраціональність, двійкове подання сталої ефективно обчислюється: Кнут у виданні «Мистецтва програмування» 1998 року зауважив, що обчислення можна здійснити з використанням ряду Клаузена, який збігається дуже швидко[5].

Застосування

Стала Ердеша — Борвейна виникає під час аналізу поведінки алгоритму пірамідального сортування[6].

Примітки

послідовність A065442 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Першу з цих формул надав Кнут 1998 року; він при цьому посилається на роботу 1828 року Томаса Клаузена.
Erdős, Pal (1948). On arithmetical properties of Lambert series. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 12: 63–66. MR 0029405.
Borwein, Peter B. (1992). On the irrationality of certain series. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112 (1): 141–146. MR 1162938. doi:10.1017/S030500410007081X.
Крендалл, Річард (2012). The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant. Integers 12: A23. doi:10.1515/integers-2012-0007.
Кнут, Дональд (1998). The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching (вид. 2nd). Reading, MA: Addison-Wesley. с. 153–155..

Література

Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] послідовність A065442 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

[2] Першу з цих формул надав Кнут 1998 року; він при цьому посилається на роботу 1828 року Томаса Клаузена.

[3] Erdős, Pal (1948). On arithmetical properties of Lambert series. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 12: 63–66. MR 0029405.

[4] Borwein, Peter B. (1992). On the irrationality of certain series. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112 (1): 141–146. MR 1162938. doi:10.1017/S030500410007081X.

[5] Крендалл, Річард (2012). The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant. Integers 12: A23. doi:10.1515/integers-2012-0007.

[6] Кнут, Дональд (1998). The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching (вид. 2nd). Reading, MA: Addison-Wesley. с. 153–155..