Число Мерсенна

• Будь-який дільник числа ${\displaystyle M_{p}}$ для простого ${\displaystyle p}$ має вигляд ${\displaystyle 2pk+1}$, де ${\displaystyle k}$ — ціле число. (Це прямий наслідок малої теореми Ферма)
• Ейлер довів, що кожне парне досконале число має вигляд ${\displaystyle 2^{p-1}M_{p}}$, де число Мерсенна ${\displaystyle M_{p}}$ є простим.

Числа Мерсенна є добре відомими в зв'язку з ефективним критерієм простоти Люка-Лемера, завдяки якому прості числа Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості числа (див. посилання). Станом на грудень 2018 року найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна ${\displaystyle M_{82589933}=2^{82589933}-1}$[1], знайдене 21 грудня 2018 року в рамках проекту розподілених обчислень GIMPS. Всього відомо 51 просте число Мерсенна, при чому порядкові номери встановлені лише у перших 47-и (точно).

Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:

${\displaystyle M_{p}}$: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … (послідовність A000668 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … (послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

• Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
• Простота числа ${\displaystyle M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1}$

• Вихор Мерсенна
• Стала Ердеша — Борвейна

• Mersenne Numbers
• Double Mersenne Numbers
• Mersenne Primes: History, Theorems and Lists
• самые большие известные простые числа