Функція дільників

Функція сума додатних дільників σ_x(n) для дійсного або комплексного числа x визначається як сума x степенів додатних дільників числа n. Функцію можна виразити формулою

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!,}$

де ${\displaystyle {d|n}}$ означає «d ділить n».

Найважливішими частковими випадками є x = 0 і x = 1. Для позначення σ₀(n) або функції кількості дільників використовуються також позначення d(n), ν(n) и τ(n) (від німецького Teiler = дільник) [1] [2]. У цьому випадку функція має просту геометричну інтерпретацію: σ₀(n) = d(n) дорівнює кількості точок (x, y) з цілими координатами у «правому верхньому квадранті», що лежать на гіперболі xy = n.

Якщо x дорівнює 1, функція називається сигма-функцією або сумою дільників [3] і індекс часто опускається, так що σ(n) є еквівалентним σ₁(n) [4].

Пов'язаною з σ(n) є функція s(n), що є рівною сумі власних дільників (тобто дільників, за винятком самого n) [5], тобто s(n) = σ₁(n) - n.

Наприклад, σ₀(12) — кількість дільників числа 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

тоді як σ₁(12) — сума всіх дільників:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

і сума s(12) власних дільників є рівною:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

Випадки ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle x=3}$ і так далі входять в послідовності  A001157,  A001158,  A001159,  A001160,  A013954,  A013955 …

• Для цілих, які не є квадратами, кожен дільник d числа n має пов'язаний дільник n/d, і тому для таких чисел ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ завжди є парним. Для квадратів один дільник, а саме ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, не має пари, так що для них ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ завжди є непарним числом.

• Для простого числа p,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

оскільки, за означенням, просте число ділиться тільки на одиницю і самого себе.

• Якщо p_n# позначає прайморіал, то

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

• Для всіх ${\displaystyle n>2}$ виконуються нерівності ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ і ${\displaystyle n{\sqrt {n}}>\sigma (n)>n}$.

Для складених чисел виконується нерівність ${\displaystyle \sigma (n)>n+n^{\frac {1}{2}}}$[6].

Для будь-яких цілих чисел більших одиниці ${\displaystyle \sigma (mn)>\sigma (n)+\sigma (m)\,}$.

Для всіх ${\displaystyle n}$ окрім 1,2,3,4,6 и 8 виконується нерівність Анапурни)^,[7]^,[8]:

${\displaystyle \sigma (n)<{\frac {6}{\pi ^{2}}}\cdot n^{\frac {3}{2}}}$

Для всіх натуральних чисел ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle m}$ виконується нерівність Сіварамакрішнана — Венкатараманана:

${\displaystyle \sigma _{m}(n)\geq n^{\frac {m}{2}}\cdot \sigma _{0}(n)}$

Нерівність Ленгфорда

${\displaystyle \sigma (n)\leq {\frac {1}{2}}(n+1)\sigma _{0}(n)}$

• У кільці арифметичних функцій функція дільників є оборотним елементом і можна дати еквівалентне означення[9]: ${\displaystyle \sigma _{x}=\iota _{0}*\iota _{x},\,}$ де, за означенням ${\displaystyle \iota _{x}(n)=n^{x}}$, а * позначає згортку Діріхле. Оберненим елементом для функції σ_x є мультиплікативна арифметична функція задана як[10]:

  ${\displaystyle \left(\sigma _{x}^{-1}\right)(p^{k})={\begin{cases}1{\text{,}}&k=0\\-1-p^{x}{\text{,}}&k=1\\p^{x}{\text{,}}&k=2\\0{\text{,}}&k>2\end{cases}}}$ Для цієї функції виконується рівність ${\displaystyle \sigma _{x}^{-1}=(\iota _{x}\mu )*\mu \,}$, і зокрема для ${\displaystyle x=0}$: ${\displaystyle \sigma _{0}^{-1}=\mu *\mu \,}$, де ${\displaystyle \mu }$ — функція Мебіуса.

• При тих же позначеннях${\displaystyle \sigma _{-x}=\iota _{-x}\sigma _{x}.\,}$

• Функція дільників є мультиплікативною, але не цілком мультиплікативною.

Якщо ${\displaystyle m,n}$ — взаємно прості натуральні числа, і ${\displaystyle d^{*}|mn}$, то ${\displaystyle d^{*}=dd'}$, де ${\displaystyle d|m}$ і ${\displaystyle d'|m}$ і до того ж такий запис є єдиним (з точністю до порядку множників). Навпаки, якщо ${\displaystyle d|m}$ і ${\displaystyle d'|n}$, то ${\displaystyle dd'|mn}$. Тому ${\displaystyle \sum _{d|m}d^{x}\sum _{d'|n}(d')^{x}=\sum _{d^{*}|mn}(d^{*})^{x}}$, тобто ${\displaystyle \sigma _{x}(m)\sigma _{x}(n)=\sigma _{x}(mn)}$.

Натомість, наприклад, ${\displaystyle \sigma _{x}(2)=1+2^{x},\ \sigma _{x}(4)=1+2^{x}+4^{x}}$ і тому ${\displaystyle \sigma _{x}(2)\cdot \sigma _{x}(2)=1+2\cdot 2^{x}+4^{x}\neq \sigma _{x}(4)=1+2^{x}+4^{x}}$.

• Якщо записати

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$,

де r = ω(n) — кількість простих дільників числа n, p_i — i-й простий дільник, а a_i — максимальний степінь p_i, на який ділиться n, то з мультиплікативності функції дільників отримуємо:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}).}$.

Використовуючи формулу суми геометричної прогресії, також можна записами:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$,

• Якщо у попередній формулі взяти x = 0, отримаємо, що d(n) є рівним:

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Приклад, число n = 24 має два простих дільники — p₁ = 2 і p₂ = 3. Оскільки 24 — добуток 2³×3¹, то a₁ = 3 і a₂ = 1.

Тепер можна обчислити ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)\\&=(3+1)(1+1)=4\times 2=8.\end{aligned}}}$

Вісім дільників числа 24 — 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 і 24.

• Функція s(n) використовується для означення досконалих чисел — для них s(n) = n. Якщо s (n) > n, то n називається надлишковим, а якщо s(n) < n, то n називається недостатнім.

Якщо n — степінь двійки, тобто ${\displaystyle n=2^{k}}$, то ${\displaystyle \sigma (n)=2\times 2^{k}-1=2n-1,}$ і s(n) = n-1, що робить n майже досконалим.

• Як приклад, для двох простих p і q (де p < q), нехай ${\displaystyle n=pq.}$

Тоді

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

і

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,}$

де φ(n) — функція Ейлера.

Тоді корені p і q рівняння:

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0}$

можна виразити через σ(n) и φ(n) :

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.}$

Знаючи n і або σ(n), або φ(n) (чи знаючи p+q і або σ(n) або φ(n)) можна знайти p і q.

• В 1984 році Хіз-Браун (Roger Heath-Brown) довів, що рівність

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

виконується для нескінченної кількості натуральних чисел.

Два ряди Діріхле, із функцією дільників:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a),}$

і при позначенні d(n) = σ₀(n) зокрема

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),}$

Інший ряд, де використовуються ці функції:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

Ряд Ламбера, із функцією дільників:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

для будь-якого комплексного |q| ≤ 1 і a.

Ця сума зустрічається також в рядах Фур'є для рядів Ейзенштейна і в інваріантах еліптичних функцій Вейєрштраса.

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
• Weisstein, Eric W. Robin's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions