Стан Фока

В одномодовому фоківському стані ${\displaystyle |n\rangle }$, перебуває n частинок (n — ціле число).

В основному стані ${\displaystyle |0\rangle }$ в моді немає жодного кванту, але стан все одно має енергію ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}}$. Часто ${\displaystyle |0\rangle }$ також називають вакуумним станом.

При розгляді вторинного квантування, стани Фока формують найзручніший базис простору Фока.
Частинки з цілим спіном задовольняють наступним співвідношенням статистики Бозе-Ейнштейна:

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$

${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

${\displaystyle |n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle }$

де ${\displaystyle ~a}$ і ${\displaystyle a^{\dagger }}$ — є операторами знищення й народження, відповідно.
Схожі співвідношення виконуються для статистики Фермі-Дірака (для частинок із напівцілим спіном).

З цих співвідношень виходить

${\displaystyle ~[aa^{\dagger }]=n}$

і

${\displaystyle ~Var[aa^{\dagger }]=0}$,

тобто кількість частинок ${\displaystyle ~n}$ у фоківському стані не має флуктуацій.

Стани Фока є власними функціями гамільтоніану поля:

${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$

де ${\displaystyle ~E_{n}}$ енергія відповідного стану ${\displaystyle |n\rangle }$, гамільтоніан дорівнює ${\displaystyle H=\hbar \omega \left(aa^{\dagger }+1/2\right)}$.

При підстановці гамільтоніану до наведеного вище виразу, отримаємо:

${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle }$

Відповідно, енергія стану ${\displaystyle |n\rangle }$ дорівнює ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$, де ${\displaystyle ~\omega }$ це частота поля.

Ще раз відмітимо, що енергія нульового (основного) стану відмінна від нуля ${\displaystyle ~n=0}$ і її називають нульовою енергією.

Див. також Частота Рабі

Вакуумний стан або ${\displaystyle |0\rangle }$ є станом з найменшою енергією і

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Електричне, магнітне поля і векторний потенціал мають однаковий вигляд:

${\displaystyle F({\vec {r}},t)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h.c}$

Легко помітити, що величина оператору поля цього стану зникає в вакуумному стані:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Однак, можна показати, що квадрат оператору поля не дорівнює нулю.

Вакуумні флуктуації відповідальні за велику кількість явищ у квантовій оптиці, наприклад таких як Лембів зсув і сила Казиміра.

• Вторинне квантування
• Квантовий осцилятор

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
• Хоружий С. С. Введение в алгебраическую квантовую теорию поля. — М. : Наука, 1986. — 304 с.
• Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М. : ИЛ, 1963. — 844 с.