Вторинне квантування

Фізичні поля, зокрема, електромагнітне поле, описуються хвильовими рівняннями. Спектр нормальних мод цих рівнянь взагалі неперервний, однак його можна дискретизувати, накладаючи періодичні граничні умови в об'ємі, розміри якого набагато перевищують розміри досліджуваних систем. Функцію Лагранжа для поля можна записати через нормальні моди у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{k}\hbar \omega _{k}({\dot {a}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}a_{k}^{2})}$,

де ${\displaystyle \omega _{k}=E_{k}/\hbar }$, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, ${\displaystyle E_{k}}$ — енергія нормальної моди, ${\displaystyle a_{k}}$ — амплітуда нормальної моди. Нормований власний вектор нормальної моди — ${\displaystyle \mathbf {f} _{k}(\mathbf {r} )}$.

Таким чином, функція Лагранжа зводиться до суми функцій Лагранжа окремих класичних гармонічних осциляторів. Перехід від класичних осциляторів до квантових проводиться за процедурою, описаною в статті гармонічний осцилятор. Як наслідок, гамільтоніан квантової системи набирає вигляду

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Як і будь-який квантовий осцилятор, квантоване поле характеризується нульовими коливаннями. Стан із найнижчою енергією позначається ${\displaystyle |0\rangle }$ і називається нульовим станом. Відповідна йому енергія

${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{2}}\sum _{k}\hbar \omega _{k}}$.

При дії оператора народження на нульовий стан утворюється частинка з енергією ${\displaystyle \hbar \omega _{k}}$. Оскільки оператори народження і знищення таких частинок задовільняють комутаційним співвідношенням, характерним для квантового осцилятора

${\displaystyle [{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k^{\prime }}^{\dagger }]=\delta _{k,k^{\prime }}}$,

то такі частинки є бозонами. Повторна дія оператора ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}^{\dagger }}$ на стан ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}^{\dagger }|0\rangle }$ дає стан із двома однаковими бозонами. Продовжуючи, можна отримати стан із будь-яким числом бозонів. Кількість бозонів у квантованому полі відповідає амплітуді класичного поля — чим сильніше поле — тим більше бозонів.

Оператор поля в просторі Фока записується в загальному випадку як суперпозиція всіх можливих станів:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}\mathbf {f} _{k}(\mathbf {r} )\sum _{n_{k}}\alpha _{n_{k}}(t)({\hat {a}}_{k}^{\dagger })^{n_{k}}}$,

де ${\displaystyle \alpha _{n_{k}}(t)}$ — комплексна функція, що задає амплітуду ймовірності існування n бозонів, що відповідають k-ій класичній нормальній моді.

Для вторинного квантування ферміонів, наприклад, електронів, потрібно перейти від опису із використанням хвильових функцій до опису з використанням відповідних функцій-операторів. Ферміони описуються хвильовими рівняннями квантової механіки, наприклад, рівнянням Дірака або рівнянням Шредінгера. Знаючи спектр відповідних гамільтоніанів та власні функції ${\displaystyle \varphi _{n}(\mathbf {r} )}$, можна записати власні хвильові функції у просторі Фока у вигляді

${\displaystyle \psi _{n}=\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }|0\rangle }$,

де ${\displaystyle a_{n}^{\dagger }}$ — оператор народження відповідного стану. Загалом, будь-яка хвильова функція змішаного стану

${\displaystyle \psi (t,\mathbf {r} )=\sum _{n}\alpha _{n}(t)\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }|0\rangle }$,

де ${\displaystyle \alpha _{n}(t)}$ — комплексні функції часу. У випадку стаціонарних станів ${\displaystyle \alpha _{n}(t)=\alpha _{n0}e^{i\omega _{k}t}}$

Вводячи оператор

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )=\sum _{n}\alpha _{n}(t)\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }}$,

хвильову функцію можна записати як

${\displaystyle \psi (t,\mathbf {r} )={\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )|0\rangle }$.

Оператор ${\displaystyle {\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )\,}$ і є способом опису квантової системи у просторі Фока.

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.
• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М. : Наука, 1986. — 320 с.
• Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1964. — 256 с.
• Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику. — М. : Мир, 1969. — 208 с.
• ван Хьеу Н. Основы метода вторичного квантования. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.