Строфоїда

Строфоїда (від грец. στροφή — поворот) — алгебрична крива 3-го порядку. Будується таким чином (див. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

У декартовій системі координат, де вісь абсцис направлена за OB, а вісь ординат за OD, задана фіксована точка A на осі OX. Через точку А проводиться довільна пряма AL, яка перетинає вісь ординат у точці P. Від точки P, на відстані рівній OP, в обидва боки вздовж прямої AL розташовані точки M1 і M2. Геометричне місце точок M1 і M2 утворюють строфоїду.

У прямокутній системі координат будується пряма строфоїда або просто строфоїда, яка зображена на Рис.1. У косокутній системі координат будується коса строфоїда — Рис.2.

Рівняння

Рівняння строфоїди в декартовій системі координат, де O — початок координат, вісь абсцис направлена за променем OB, вісь ординат за променем OD, кут $\alpha =\angle AOD$ (для прямокутної системи координат $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ ), записується так:

y^{2}\left(x-a\right)-2x^{2}y\cos \alpha +x^{2}\left(a+x\right)=0

.

Рівняння прямої строфоїди:

y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}

.

Рівняння строфоїди в полярній системі координат:

\rho =-{\frac {a\cos 2\phi }{\cos \phi }}

.

Параметричне рівняння строфоїди:

x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)

y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)

, де

u=\mathrm {tg} \,\phi

.

Точка B розміщена від центру координат O на відстані, рівній a = OA. Пряма UV, проведена через точку B паралельно до осі ординат слугує асимптотою для обох гілок прямої строфоїди. Для косої строфоїди, пряма UV слугує асимптотою для нижньої гілки і дотичною в точці S, причому SB = SA.

У точці O існують дві дотичні, які взаємно перпендикулярні, як для прямої, так і для косої строфоїди.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.