Алгебрична крива

Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням $x 2 + y 2 -1 = 0$ .[1]

Кубика Чирнгауза — алгебрична крива третього порядку.

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.

В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем $k$ визначається як множина точок $K 2$ , які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в $k$ , де $K$ — алгебричне замикання поля $k$ . Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в $k$ , називаються $k$ -точками. Наприклад, точка $(2,{\sqrt {-3}})$ належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен $x 2 + y 2 + 1$ задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проєктивному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

Приклади алгебричних кривих

Раціональні криві

Раціональна крива, також відома як унікурсальна крива, — це крива, біраціонально еквівалентна афінній прямій (або проєктивній прямій), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна параметризація.

Більш конкретно, раціональна крива в $n$ -вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою $n$ раціональних функцій від єдиного параметра $t$ .

x 2 + xy + y 2 = 1

Наприклад, розглянемо еліпс $x 2 + xy + y 2 = 1$ з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму $y = t (x + 1)$ , підставивши вираз $y$ через $x$ в рівняння та розв'язавши відносно $x$ , отримаємо рівняння

x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},

y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді подавані всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй $t = \infty$ , тобто параметризувати еліпс проєктивною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в проєктивному просторі», перейшовши до однорідних координат, тобто замінивши $t$ на $T / U$ , а $x, y$ — на $X / Z, Y / Z$ відповідно. Параметризація еліпса $X 2 + XY + Y 2 = Z 2$ проєктивної прямої прийме такий вигляд:

X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.

Еліптичні криві

Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем) — це алгебричні криві роду 0 (див. нижче), у цій термінології еліптичні криві — це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої — кубика без особливостей; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру абелевої групи. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки колінеарні.

Перетин двох конік є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

Зв'язок з полями функцій

Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення нескоротних кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити поле раціональних функцій на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що категорія алгебричних кривих та раціональних відображень двоїста категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є алгебричними розширеннями поля $k(x)$ .

Комплексні криві як дійсні поверхні

Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проєктивний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є поверхнею. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним орієнтованим многовидом.

Топологічний рід цієї поверхні збігається з родом алгебричної кривої (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо проєкція кривої без особливостей на площину є алгебричною кривою ступеня $d$ зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними дотичними прямими у кожної з компонент), то вихідна крива має рід $(d -1) (d -2) /2- k$ , де $k$ — число цих особливостей.

Вивчення компактних ріманових поверхонь складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі категорії еквівалентні:

Категорія проєктивних алгебричних кривих без особливостей (з раціональними відображеннями як морфізмом).
Категорія компактних ріманових поверхонь та голоморфних функцій.

Класифікація особливостей

x 3 - y 2 = 0

Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи каспів. Наприклад, на малюнку зображена крива $x 3 - y 2 = 0$ з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми інваріантами. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки $P$ нескоротьної кривої δ можна обчислити як довжину модуля ${\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}/{\mathcal {O}}_{P}$ , де ${\mathcal {O}}_{P}$ — локальне кільце в точці $P$ та ${\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}$ — його ціле замикання. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},

Інші важливі інваріанти: кратність $m$ особливості (максимальне ціле число, таке що всі похідні які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує $m$ , дорівнюють нулю) і число Мілнора.

Див. також

Примітки

Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.

Література

Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М. : Мир, 1968. — С. 285.
Джон Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М. : Мир, 1971. — С. 121.
Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
W. Fulton. Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry.
C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.