Супергравітація

${\displaystyle M_{\mu \nu }=i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }),}$${\displaystyle P_{\mu }=-i\partial _{\mu }}$— генератори алгебри Пуанкаре

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })}$

${\displaystyle [P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })}$

${\displaystyle [P^{\mu },P^{\nu }]=0}$

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })}$

${\displaystyle [P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })}$

${\displaystyle [P^{\mu },P^{\nu }]=-iv^{2}\Delta M^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \Delta =1:}$ анти-де-сіттерівська алгебра

${\displaystyle \Delta =-1:}$ де-сіттерівська алгебра

${\displaystyle \Delta =0:}$ Пуанкаре алгебра

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })}$

${\displaystyle [P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })}$

${\displaystyle [P^{\mu },P^{\nu }]=0}$

${\displaystyle [M^{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P^{\mu }]=iP^{\mu }}$

${\displaystyle [K^{\mu },K^{\nu }]=0}$

${\displaystyle [D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }}$

${\displaystyle [M^{\mu \nu },K^{\rho }]=-i(\eta ^{\mu \rho }K^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }K^{\mu })}$

${\displaystyle [P^{\mu },K^{\nu }]=-2i(\eta ^{\mu \nu }D+M^{\mu \nu })}$

${\displaystyle [M^{\nu \rho },P^{\rho }]=i(\eta ^{\nu \rho }P^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })}$

${\displaystyle D}$ — генератор масштабних трансляцій, ${\displaystyle K^{\mu }}$ — генератор конформних перетворень.

Для класифікації можливих теорій в просторі-часі довільної розмірності необхідно знати, спінори яких типів можуть бути визначені в кожному вимірі. Спінори в D вимірах — величини, перетворені в спінорному представленні групи Лоренца ${\displaystyle SO(1,D-1)}$. У більш загальному випадку розглядаються спінорні представлення групи ${\displaystyle SO(t,s)}$ з інваріантною метрикою.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag(}}\underbrace {-1,...,-1} _{t},\underbrace {+1,...,+1} _{s}),\qquad D=t+s}$.