Сфера Блоха
Сфера Блоха використовується в квантовій механіці для геометричного зображення простору чистих станів квантовомеханічної дворівневої системи (кубіта), названа на честь фізика Фелікса Блоха.
![](../I/Bloch_Sphere.svg.png.webp)
Математичний апарат квантової механіки використовує для опису фізичних систем гільбертів або проєктивний гільбертів простір. Простір чистих станів квантової системи задається одновимірними підпросторами відповідного гільбертового простору (або «точками» проєктивного гільбертового простору). У разі двовимірного гільбертового простору це просто комплексна проєктивна пряма, яка топологічно є геометричною сферою.
Сфера Блоха є одиничною двовимірною сферою, кожна пара діаметрально протилежних точок якої відповідають взаємно ортогональним векторам стану. Зокрема, північний і південний полюси сфери Блоха вважаються такими, що відповідають базисним векторам та , які в свою чергу можуть відповідати, наприклад, двом спіновим станам електрона («спін вгору» та «спін вниз»). Однак, слід зазначити, що подібний вибір точок є довільним. Точки на поверхні сфери відповідають чистим станам квантової системи, в той час як точки всередині сфери репрезентують мішані стани. Взагалі-то сфера Блоха може бути узагальнена на N-рівневі квантові системи, але така візуалізація є менш наочною та корисною.
В оптиці сфера Блоха відома як сфера Пуанкаре і використовується у формалізмі Джонса для опису та візуалізації станів із різними типами поляризації, зокрема 6 основними типами, що відображаються на відповідні точки сфери Пуанкаре і характеризуються відповідним нормованим вектором Джонса.
Природною метрикою на сфері Блоха є метрика Фубіні — Штуді.
Означення
У заданому ортонормованому базисі довільний вектор чистого стану дворівневої квантової системи може бути записаний як суперпозиція двох базисних векторів та , де кожна компонента за базисним вектором є комплексним числом. Фізичний зміст має лише відносна фаза між відповідними компонентами, тому компонента за базисним вектором може бути обрана дійсною та невід'ємною. Крім того, з квантової механіки відомо, що повна ймовірність має дорівнювати одиниці, тому на компоненти накладається умова нормування:
Враховуючи ці припущення, можна записати довільний вектор чистого стану у такому вигляді:
де та . За винятком випадку, коли є просто базисним вектором та , таке зображення однозначно задає вектор чистого стану. Параметри та , які можна зобразити як сферичні координати, визначають точку
на одиничній сфері у .
У разі мішаних станів замість вектора стану використовується матриця густини . Взагалі кажучи, будь-яка двовимірна матриця густини може бути розкладена за одиничною матрицею та набором ермітових безслідових матриць Паулі :
де вектор називається вектор Блоха квантової системи і визначає точку всередині сфери, що відповідає мішаному станові. Власні значення матриці густини визначаються модулем вектора Блоха і дорівнюють . Оскільки матриця густини є позитивно означеною, то модуль вектора Блоха не може бути більшим за одиницю . Граничний випадок, коли кінець вектора Блоха лежить на сфері Блоха, відповідає чистим станам:
Тому сфера Блоха репрезентує всі можливі чисті стани дворівневої квантової системи, а простір всередині сфери Блоха — мішані стани.
Література
- Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М. : Мир, 2006. — 824 с.