Сферичний рух

Ейлерові кути

При сферичному русі тверде тіло має три ступені вільності. Три параметри, які б визначали положення такого тіла відносно нерухомої декартової системи координат з осями початкової системи відліку x, y, z та осями системи, що обертається X, Y, Z (див. рис), можуть бути обрані різними способами. У теоретичній механіці положення тіла з однією нерухомою точкою, зазвичай, визначають за допомогою кутів Ейлера, які вводяться наступним способом:

• Кут прецесії α (або ${\displaystyle \varphi }$) це кут між віссю x і лінією вузлів N.
• Кут нутації β (або ${\displaystyle \theta }$) це кут між віссю z і віссю Z.
• Кут власного обертання γ (або ${\displaystyle \psi }$) це кут між віссю N і віссю X.

Лінія вузлів (N) є перетином координатних площин xy та XY.

В цьому визначенні мається на увазі, що:

• α задає кут обертання довкола осі z,
• β задає кут обертання довкола осі N,
• γ задає кут обертання довкола осі Z.

Якщо β є нульовим, тоді обертання довкола осі N не відбувалося. Як наслідок, Z збігається із z, α і γ задають поворот довкола однієї і тієї ж осі (z), і результуюче положення можна отримати лише за допомогою повороту довкола осі z, на значення кута, яке дорівнює α+γ.

Замість позначень α, β, γ можуть мати місце також φ, θ, ψ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π;. Кут нутації — від нуля до π.

Відлік усіх кутів (α, β, γ) від осей x, z і N ведеться проти годинникової стрілки. Отже рівності:

${\displaystyle \alpha =\alpha (t),\beta =\beta (t),\gamma =\gamma (t)}$

задають рівняння руху тіла при обертанні навколо нерухомої точки.

Швидкість будь-якої точки з координатами в рухомій системі відліку X, Y, Z тіла, що здійснює сферичний рух може бути визначена за формулою у вигляді векторного добутку:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\\omega _{X}&\omega _{Y}&\omega _{Z}\\X&Y&Z\end{vmatrix}},}$

де ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$ — одиничні вектори рухомої системи координат;

${\displaystyle \omega _{X},\omega _{Y},\omega _{Z}}$ — проекції вектора кутової швидкості на рухомі координати.

Кутова швидкість у проекціях на рухомі координати виражена через кути Ейлера (кінематичні рівняння Ейлера):

${\displaystyle {\begin{cases}\omega _{X}={\dot {\beta }}\cos \alpha +{\dot {\gamma }}\sin \beta \sin \alpha$ ;\\\omega _{Y}={\dot {\gamma }}\sin \beta \cos \alpha -{\dot {\beta }}\sin \alpha ;\\\omega _{Z}={\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos \beta \end{cases}}}

Геометричне місце точок, швидкість яких дорівнює нулю, визначається з рівняння

${\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=0,}$

яке являє собою умову колінеарності векторів ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ і ${\displaystyle {\vec {r}}}$. Це векторне рівняння у системі координат XYZ, пов'язаній з тілом, можна записати у вигляді

${\displaystyle {\frac {X}{\omega _{X}}}={\frac {Y}{\omega _{Y}}}={\frac {Z}{\omega _{Z}}},}$

яке є рівнянням прямої лінії, напрямні косинуси якої пропорційні до проекцій кутової швидкості ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$. У загальному випадку вектор ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ і його проекції є функціями часу, тому положення прямої змінюється як відносно тіла, так і відносно нерухомої системи координат. Пряма, у кожній точці якої швидкості точок тіла у даний момент часу рівні нулю, називається миттєвою віссю обертання або миттєвою віссю швидкостей. Вектор ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ завжди спрямований по миттєвій осі обертання.

Формула для обчислення швидкості руху довільної точки тіла в умовах сферичного руху збігається за формою з виразом для швидкостей точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ . Отже, швидкості точок твердого тіла при сферичному русі розподіляються так, наче тіло обертається навколо осі, що збігається в даний момент часу з миттєвою віссю обертання. Зокрема, модуль швидкості точки в даний момент визначається рівністю

${\displaystyle v=\omega h,}$

де h — відстань від точки до миттєвої осі обертання. Швидкість точки спрямована перпендикулярно до площини, що проходить через її радіус-вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ і миттєву вісь обертання.

Виходячи з означення прискорення та на основі рівності, записаної для визначення кутової швидкості, можна записати:

${\displaystyle {\vec {w}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d\left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)}{dt}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}.}$

Але

${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$, а ${\displaystyle {\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\epsilon }},}$

отже,

${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {\epsilon }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}.}$

Отже, прискорення ${\displaystyle {\vec {w}}}$ можна подати у вигляді векторної суми двох прискорень обертального (перший доданок) і доосьового (другий доданок).