Теорема обертання Ейлера
Теорема обертання Ейлера стверджує, що будь-яке обертання тривимірного простору має вісь.
Таким чином, обертання може бути описано трьома координатами: двома координатами осі обертання (наприклад, широта та довгота) і кутом повороту навколо осі.
Для заданого одиничного вектора і кута позначимо обертання в напрямку вектора проти годинникової стрілки на кут . Тоді:
- — тотожне відображення для будь-якого
Для будь-якого обертання існує єдиний кут , для якого , при цьому:
- визначається однозначно, якщо ;
- будь-яке, коли ;
- визначається однозначно з точністю до знака, якщо (тобто, обертання однакові).
Геометрія групи обертань
Подання Ейлера дозволяє досліджувати топологію групи обертань тривимірного евклідового простору — SO(3). Для цього розглянемо кулю з центром на початку координат з радіусом .
Будь-яке обертання на кут, менший , задає єдину точку всередині кулі (напрямок задає напрямок осі обертання, а кут задає відстань від початку координат). Обертання на кут відповідає двом протилежним точкам на поверхні сфери.
Таким чином, куля з ототожненими протилежними точками сфери гомеоморфна групі обертань простору SO(3).