Теорема Александера про передбази

Нехай X є топологічним простором із передбазою B. Якщо кожне покриття простору X елементами із B має скінченне підпокриття, тоді простір є компактним.

Припустимо, що простір X не є компактним але кожне покриття елементами із B має скінченне підпокриття. Позначимо ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — сім'ю всіх відкритих покриттів простору X, що не мають скінченних підпокриттів. За припущенням ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \emptyset .}$

На ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ можна ввести відношення часткового порядку: для ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {F}}}$ відношенення ${\displaystyle C_{1}<C_{2}}$ виконується якщо ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}.}$ Для кожної лінійно впорядкованої підмножими ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$ елементів із ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ існує верхня межа ${\displaystyle {\tilde {C}}=\bigcup _{i\in I}C_{i}}$ (очевидно ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ є покриттям X). Тому, згідно леми Цорна, можна знайти відкрите покриття C, що є максимальним елементом ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ Тобто, якщо V є відкритою підмножиною X, яка не належить C, тоді C ∪ {V} має скінченне підпокриття, для якого V є одним із елементів.

C ∩ B не є покриттям простору X. Якби це було не так то це би було покриття елементами B і згідно припущення із C ∩ B можна було б виділити скінченне підпокриття яке також було б скінченним підпокриттям із C. Це суперечить означенню C.

Отже існує елемент x із X, що не належить жодній із множин із C ∩ B. Оскільки C є покриттям X то x ∈ U для деякої відкритої множини U ∈ C. Оскільки B є передбазою, то для деяких множин S₁, ..., S_n ∈ B, згідно означення: x ∈ S₁∩ ··· ∩S_n ⊆ U.

Оскільки x не належить жодній із множин із C ∩ B, то також S_i ∉ C для кожного i. (Якщо S_i ∈ C для деякого i, тоді також S_i ∈ C ∩ B і тому x ∈ S_i ∈ C ∩ B). Із максимальності покриття C, для кожного i існує скінченна підмножина C_Si покриття C для якої {S_i} ∪ C_Si є скінченним покриттям простору X. Позначимо C_F об'єднання скінченних множин C_Si для всіх i із 1 до n. Тоді для кожного i скінченне покриття {S_i} ∪ C_Si простору X можна замінити на більше скінченне покриття {S_i} ∪ C_F. Для кожного i скінченна множина {S_i} ∪ C_F є покриттям простору X, тому також {S₁∩ ··· ∩S_n} ∪ C_F є покриттям X. Але, як було вказано вище, S₁∩ ··· ∩S_n ⊆ U де U ∈ C. Тому {U}∪C_F є скінченним покриттям X елементами якого є множини із C. Тобто для C існує скінченне підпокриття, що суперечить вибору C. Тобто для X не існує покриттів відкритими множинами для яких не існує скінченних підпокриттів. Тобто X є компактним простором.

• Компактний простір
• Передбаза топології

• Alexander's Subbasis Theorem на сайті Mathonline

• Ciesielski, Krzysztof (1997). Set Theory for the Working Mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59441-3.