Відкрита множина

Підмножина евклідового простору ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ називається відкритою, якщо:

${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0:\;\;V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U,}$ де ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}}$ — ε-окіл точки ${\displaystyle \ x_{0}.}$

Іншими словами, множина є відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Якщо ${\displaystyle \ (X,\rho )}$ — деякий метричний простір, і ${\displaystyle U\subset X}$. Тоді ${\displaystyle \ U}$ є відкритою, якщо:

${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0:\;\;V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, де ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X:\rho (x,x_{0})<\varepsilon \}}$ — ε-окіл точки ${\displaystyle \ x_{0}}$ відносно метрики ${\displaystyle \ \rho }$.

Якщо ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологічний простір, де ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — топологія, визначена на ${\displaystyle \ X}$, то за визначенням топологічного простору будь-яка підмножина ${\displaystyle U\subset X}$, що є елементом топології, тобто ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$, буде відкритою множиною відносно цієї топології.

• Замкнута множина

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)