Теорема Барб'є

Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.

Формулювання

Теорема.

Довжина будь-якої кривої сталої ширини $a$ дорівнює $\pi a$ .

Доведення

Існує кілька доведень теореми Барб'є:

Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини $a$ , якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса $a$ . З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса $a$ , тобто $\pi a$ .[1]
Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані $d$ одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює ${\frac {L}{\pi d}}$ , де $L$ — периметр цієї фігури[2][3]. Оскільки фігура сталої ширини $a$ задовольняє умові цієї теореми для $d=a$ , а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати $\pi a$ .[4]

Варіації та узагальнення

Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в площині Мінковського.
Формула Крофтона

Примітки

Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
[E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Т. 5. — С. 273—286.
Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Т. 55 (6). — С. 501-524.
Bogomolny A. Math Surprises: An Example. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.

Література

Barbier E. . — Т. 5. — С. 273—286.
Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut the Knot (англійською). Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8. (англ.)
Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.

[2] [E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Т. 5. — С. 273—286.

[3] Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Т. 55 (6). — С. 501-524.

[4] Bogomolny A. Math Surprises: An Example. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.