Опукла геометрія

Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, інтегральній геометрії, лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.

Історія

Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам Германа Брунна і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.

Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа змінних[1].

Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі був опублікований у 1934 році Томмі Боннезеном і Вернером Фенхелем[2]. У 1993 році під редакцією Грубера і Вільса вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX столітті[3].

Класифікація

Згідно математичної предметної класифікації[4] математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки[5]:

  • Загальна опуклість,
  • Багатогранники,
  • Дискретна геометрія.

«Загальна опуклість» потім поділяється на:[6]

  • Аксіоматична і узагальнена опуклість
  • Опуклі множини без обмеження на розмірність
  • Опуклі множини в топологічних векторних просторах
  • Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві)
  • Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні)
  • Опуклі множини в n — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні)
  • Банахови простору кінцевої розмірності
  • Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія
  • Асимптотична теорія опуклих тіл
  • Апроксимація опуклими множинами
  • Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, (m, n) — опуклі, і так далі)
  • Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей
  • Інші проблеми комбінаторної опуклості
  • Довжина, площа, об'єм
  • Змішаний об'єм і пов'язані поняття
  • Нерівності та екстремальні задачи
  • Опуклі функції і опукле програмування
  • Сферична і гіперболічна опуклість

Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антіматроідам.

Див. також
  • Перелік тем опуклої геометрії

Примітки
  1. В. Ю. Протасов, Опукла геометрія: від робіт Мінковського до сучасних завдань оптимізації. Літня школа «Сучасна математика», Дубна, 2011.
  2. Боннезо, Фенхель, 2002.
  3. Грубер, Вільс, 1993.
  4. Сайт математичної предметної класифікації MSC2010
  5. Математична предметна класифікація MSC2010, розділ 52"Convex and discrete geometry"
  6. Mathematics Subject Classification MSC2010, entry 52A «General convexity»

Посилання
  • K. Ball. An elementary introduction to modern convex geometry. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1997. — Т. 31. — С. 1-58. — (Flavors of Geometry, MSRI Publications)
  • M. Berger. Convexity. — Amer. Math. Monthly, 1990. — Т. 97. — С. 650-678.
  • P. M. Gruber. Aspects of convexity and its applications. — Exposition. Math, 1984. — Т. 2. — С. 47-83.
  • V. Klee. What is a convex set?. — Amer. Math. Monthly, 1971. — Т. 78. — С. 616-631.
  • Боннезен Т., Фенхель В. Теорія опуклих тіл = Theory of convex bodies, 1987. — М. : Фазис, 2002. — (Бібліотека студента-математика) — ISBN 5-7036-0075-8.
  • R. J. Gardner. Geometric tomography. — 2. — New York : Cambridge University Press, 2006.
  • P. M. Gruber. Convex and discrete geometry. — New York : Springer-Verlag, 2007.
  • Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A, B.
  • G. Pisier. The volume of convex bodies and Banach space geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1989.
  • R. Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1993.
  • A. C. Thompson. Minkowski geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin. The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis. — Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2008.
  • W. Fenchel. Convexity through the ages // Dansk. Mat. Forening. — Copenhagen, 1973. — С. 103-116 Danish Mathematical Society (1929-1973). Переклад на англійську: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, JM Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
  • P. M. Gruber. Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990 / G. Fischer, et al. — Freiburg : F. Wieweg and Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, 1990. — Т. 6,. — С. 421-455. — (Dokumente Gesch. Math.)
  • P. M. Gruber. Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A. — С. 1-15.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.