Теорема Гадвіґера

Нехай ${\displaystyle K^{n}}$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюація на ${\displaystyle K^{n}}$ це функція ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ така, що рівняння

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$

виконується для будь-яких ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, що ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$,

При цьому

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого ${\displaystyle S\in K^{n}}$виконується

  ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$

${\displaystyle k}$-а середня поперечна міра ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тіла ${\displaystyle S\in K^{n}}$ визначається як середня ${\displaystyle k}$-вимірна площа проєкцій ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-вимірні площини.

Зокрема,

• ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — об'єм ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорційна площі поверхні ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$

Будь-яка неперервна валюація v на Kⁿ, інваріантна відносно жорстких рухів і однорідна за степенем j, кратна W_n-j.