Теорема Гурвіца про композитні алгебри

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність ${\displaystyle \ (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2})+(a_{1}b_{2},a_{2}b_{1})=2(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}).}$

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність ${\displaystyle \ (ab){\bar {b}}=(b,b)a.}$

Наслідком леми є формула ${\displaystyle \ (ax){\bar {y}}+(ay){\bar {x}}=2(xy)a.}$

Позначимо одиницю алгебри ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ через ${\displaystyle \mathbf {1} .}$

Кожен елемент ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}}$ можна представити єдиним чином у вигляді ${\displaystyle u=k\mathbf {1} +u^{\prime },}$ де ${\displaystyle u^{\prime }\perp \mathbf {1} .}$

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином ${\displaystyle {\bar {u}}=k\mathbf {1} -u^{\prime }.}$

Нехай ${\displaystyle \ {\mathcal {U}}}$ — деяка підалгебра, що містить ${\displaystyle \mathbf {1} }$ і не збігається з ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}.}$

Тоді існує одиничний вектор ${\displaystyle \ e}$, що ортогональний до ${\displaystyle \ {\mathcal {U}}.}$

Покажемо що елементи виду

${\displaystyle u_{1}+u_{2}e\quad (u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}})\qquad \qquad (*)}$

також утворюють підалгебру в ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}.}$ Позначимо її ${\displaystyle {\mathcal {U+U}}e.}$

Для цього доведемо:

• Представлення довільного елемента з ${\displaystyle {\mathcal {U+U}}e}$ у вигляді (*) можливе єдиним чином.

Доведення використовує Лему 1.

• Множення елементів виду (*) задовільняє формулу ${\displaystyle (u_{1}+u_{2}e)(v_{1}+v_{2}e)=(u_{1}v_{1}+{\bar {v_{2}}}u_{2})+(v_{2}u_{1}+u_{2}{\bar {v_{1}}})e,}$ яка збігається з процедурою подвоєння Келі-Діксона.

Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули: ${\displaystyle \ (ue)v=(u{\bar {v}})e,\;u(ve)=(vu)e,\;(ue)(ve)=-{\bar {v}}u.}$

З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра ${\displaystyle \ {\mathcal {U}},}$ що містить ${\displaystyle \mathbf {1} }$ і не збігається з ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

Отже, оскільки алгебра ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду ${\displaystyle k\mathbf {1} ,}$ що ізоморфна алгебрі дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Якщо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не збігається з алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ то розглянемо підалгебру ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathbb {R} e,}$ що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо ${\displaystyle \mathbb {C} }$ не збігається з алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ то розглянемо підалгебру ${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {C} +\mathbb {C} e^{\prime },}$ що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не збігається з алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ то розглянемо підалгебру ${\displaystyle \mathbb {O} =\mathbb {Q} +\mathbb {Q} e^{\prime \prime },}$ що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра ${\displaystyle \mathbb {O} }$ вже повинна збігатися з алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, оскільки вона вже не є асоціативною.