Нормована алгебра з діленням

Нормована алгебра з діленням — це така алгебра з діленням ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ над полем дійсних чи комплексних чисел яка одночасно є нормованим векторним простором з нормою || · ||, що задовільняє наступну умову:

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|\quad \forall x,y\in {\mathcal {A}}.}$

Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме:

• алгебра дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• алгебра комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• алгебра кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• алгебра октав ${\displaystyle \mathbb {O} .}$

Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.

Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.