Теорема Гурвіца (теорія чисел)

Теорема Гурвіца — результат теорії чисел, про наближення ірраціональних чисел раціональними. Теорема була доведена Адольфом Гурвіцем у 1891 році.

Формулювання

Для будь-якого додатного дійсного числа і ірраціонального числа існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел таких, що .

Натомість для будь-якого числа існує ірраціональне число таке, що нерівність виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел .

Доведення

Доведення першої частини теореми

Можна вважати, що .

Розглянемо ряд Фарея порядку N і і два його послідовні члени для яких . Можна вважати, що або . Справді, якщо , то і тому ряд Фарея можна замінити на , а одне з чисел чи на .

Позначаючи , таким чином або . В будь-якому випадку , оскільки

.

Звідси

.

З цієї нерівності отримуємо .

Таким чином один із інтервалів або містить і відповідно одне з чисел або задовольняє умову теореми.

Позначаючи це число маємо і оскільки з властивостей рядів Фарея для послідовних членів ряду то звідси . Оскільки число було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів , що задовольняють умови теореми.


Контрприклад для другої частини теореми

Нехай , де і . Припустимо, що . Це можна переписати як рівність , де . Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо . Якщо розглянути як многочлен від , то . Оскільки і є цілими числами і це неможливо і тому .

Оскільки то , або .

Тобто натуральне число може мати лише скінченну кількість значень. Тоді теж може приймати скінченну кількість значень.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.