Теорема Гурвіца (теорія чисел)

Можна вважати, що ${\displaystyle 0<\xi <1}$.

Розглянемо ряд Фарея порядку N і ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ і ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ два його послідовні члени для яких ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<\xi <{\frac {a'}{b'}}}$. Можна вважати, що ${\displaystyle b'>{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}b\ }$ або ${\displaystyle \ b'<{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}b}$. Справді, якщо ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}b<b'<{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}b}$, то ${\displaystyle b+b'>{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\max\{b,b'\}}$ і тому ряд Фарея ${\displaystyle F_{N}}$ можна замінити на ${\displaystyle F_{b+b'}}$, а одне з чисел ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ чи ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ на ${\displaystyle {\frac {a+a'}{b+b'}}}$.

Позначаючи ${\displaystyle \omega ={\frac {b'}{b}}}$, таким чином ${\displaystyle \omega >{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ або ${\displaystyle \omega <{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$. В будь-якому випадку ${\displaystyle 1+\omega ^{-2}>{\sqrt {5}}\omega ^{-1}}$, оскільки

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(1+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)-{\frac {1}{\omega }}={\frac {1}{{\sqrt {5}}\omega ^{2}}}\left(\omega -{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\left(\omega -{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)>0}$.

Звідси

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)={\frac {1}{{\sqrt {5}}b^{2}}}\left(1+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)>{\frac {1}{\omega b^{2}}}}$.

З цієї нерівності отримуємо ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}={\frac {1}{bb'}}={\frac {1}{bb'}}={\frac {1}{\omega b^{2}}}<{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)}$.

Таким чином один із інтервалів ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}},{\frac {a}{b}}+{\frac {1}{{\sqrt {5}}b^{2}}}\right)}$ або ${\displaystyle \left({\frac {a'}{b'}}-{\frac {1}{{\sqrt {5}}(b')^{2}}},{\frac {a'}{b'}}\right)}$ містить ${\displaystyle \xi }$ і відповідно одне з чисел ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ або ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ задовольняє умову теореми.

Позначаючи це число ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ маємо ${\displaystyle |\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}={\frac {1}{bb'}}\leqslant {\frac {1}{b+b'-1}}}$ і оскільки з властивостей рядів Фарея ${\displaystyle F_{N}}$ для послідовних членів ряду ${\displaystyle b+b'\geqslant N+1}$ то звідси ${\displaystyle |\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{N}}}$. Оскільки число ${\displaystyle N}$ було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$, що задовольняють умови теореми.

Нехай ${\displaystyle c={\frac {\sqrt {5}}{\alpha }}}$, де ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ і ${\displaystyle \xi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$. Припустимо, що ${\displaystyle \left|{\frac {h}{k}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right|<{\frac {\alpha }{{\sqrt {5}}k^{2}}}}$. Це можна переписати як рівність ${\displaystyle \theta ={\sqrt {5}}k^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {h}{k}}\right)}$, де ${\displaystyle |\theta |\leq \alpha }$. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо ${\displaystyle h^{2}-hk-k^{2}={\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta \,}$. Якщо розглянути ${\displaystyle P(h)=h^{2}-hk-k^{2}}$ як многочлен від ${\displaystyle h}$, то ${\displaystyle P(h)=0\Leftrightarrow h={\frac {(1\pm {\sqrt {5}})k}{2}}}$. Оскільки ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle k}$ є цілими числами і ${\displaystyle k\neq 0}$ це неможливо і тому ${\displaystyle |h^{2}-hk-k^{2}|\geq 1}$.

Оскільки ${\displaystyle |\theta |\leqslant \alpha <1}$ то ${\displaystyle 1\leq \left|{\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta ~\right|\leq |\theta |+{\frac {|\theta |^{2}}{5k^{2}}}\leq \alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{5k^{2}}}}$, або ${\displaystyle k^{2}<{\frac {\alpha ^{2}}{5(1-\alpha )}}}$.

Тобто натуральне число ${\displaystyle k}$ може мати лише скінченну кількість значень. Тоді ${\displaystyle h}$ теж може приймати скінченну кількість значень.