Теорема Енгеля

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k. Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ — підмножини алгебри, то ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]}$ позначає скінченні суми елементів виду ${\displaystyle [X,Y],}$ де ${\displaystyle X\in {\mathfrak {a}},\;Y\in {\mathfrak {b}}.}$

Нижній центральний ряд алгебри Лі вводиться послідовно: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{i}]}$.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ — підалгебра Лі, то можна також ввести зростаючі центральні ряди: ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}^{0}({\mathfrak {h}})=0,\;C_{\mathfrak {g}}^{i+1}({\mathfrak {h}})=\{Xin{\mathfrak {g}}|[X,{\mathfrak {h}}]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {h}})\}.}$ Для позначення ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}^{i+1}({\mathfrak {g}})}$ також використовується ${\displaystyle C^{i+1}({\mathfrak {g}}).}$

Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{n}=0}$ для деякого числа. Еквівалентно, якщо ввести позначення ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\ }$ то алгебра Лі буде нільпотентною якщо для деякого натурального числа n і ${\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}$ виконується ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0.

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається ad-нільпотентною, якщо кожне лінійне відображення ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X},\;X\in {\mathfrak {g}}}$ є нільпотентним.

Скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона є ad-нільпотентною.

Якщо алгебра Лі є нільпотентною, то існує число n для якого ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0 для всіх ${\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}}.}$ Зокрема звідси ${\displaystyle (\operatorname {ad} _{X})^{n}=0,\;\forall X\in {\mathfrak {g}}}$ і всі оператори ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$ є нільпотентними.

Навпаки, нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — скінченновимірна ad-нільпотентна алгебра Лі. Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли факторалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/C({\mathfrak {g}})}$ по центру алгебри є нільпотентною. Дійсно ця факторалгебра є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли для деякого n виконується ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{n}\subset C({\mathfrak {g}}).}$ Але тоді ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{n+1}=0.}$

Для введених вище зростаючих центральних рядів ${\displaystyle C^{1}({\mathfrak {g}})=C({\mathfrak {g}}),}$ а ${\displaystyle C^{i+1}({\mathfrak {g}})/C^{i}({\mathfrak {g}})}$ є центром алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/C^{i}({\mathfrak {g}}).}$ Тому ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{n+1}=0}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle C^{i}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}.}$

Якщо для підалгебри ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ усі лінійні оператори ${\displaystyle (\operatorname {ad} _{X}),\;X\in {\mathfrak {h}}}$ є нільпотентними, то ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}^{n}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {g}}.}$ З цього твердження для ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ і попереднього критерію нільпотентності випливає теорема Енгеля.

Доведення можна здійснювати по розмірності алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Для n=1 воно відразу випливає із означення нільпотентності ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$. Нехай розмірність ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ є більшою одиниці і ${\displaystyle {\mathfrak {j}}}$ — її максимальна власна підалгебра Лі. Тоді згідно припущення індукції існує число m для якого ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {g}}}$ і ${\displaystyle C_{\mathfrak {h}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {h}}.}$

Візьмемо таке число j, що ${\displaystyle C_{\mathfrak {h}}^{j}({\mathfrak {j}})\subset {\mathfrak {j}}}$ але ${\displaystyle C_{\mathfrak {h}}^{j+1}({\mathfrak {j}})\not \subset {\mathfrak {j}}.}$ Нехай також ${\displaystyle X\in C_{\mathfrak {h}}^{j+1}({\mathfrak {j}})-{\mathfrak {j}}.}$ Тоді ${\displaystyle [X,{\mathfrak {j}}]\subset {\mathfrak {j}}}$ і тому ${\displaystyle kX\oplus {\mathfrak {j}}}$ є підалгеброю у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ і зважаючи на максимальність ${\displaystyle {\mathfrak {h}}=kX\oplus {\mathfrak {j}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {j}}}$ є ідеалом у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

Далі ${\displaystyle [X,C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}})]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}})}$ для всіх i. Справді, очевидно ${\displaystyle [X,0]=0}$ і якщо твердження справедливе для всіх чисел менше i і ${\displaystyle Y\in C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}}),\;H\in {\mathfrak {j}},}$ то ${\displaystyle [[Y,X],H]=[[Y,H],X]+[Y,[X,H]]\subset [C_{\mathfrak {h}}^{i-1}({\mathfrak {j}}),X]}$ і тому ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}}).}$

Далі, оскільки відображення ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$ є нільпотенним і стабілізує підалгебри послідовності

${\displaystyle 0=C_{\mathfrak {g}}^{0}({\mathfrak {j}})\subset \ldots \subset C_{\mathfrak {g}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {g}}}$

то існує подрібнення

${\displaystyle 0=B^{0}\subset \ldots \subset B^{n}={\mathfrak {g}}}$

для якого ${\displaystyle [X,B^{i}]\subset B^{i-1}}$ і також ${\displaystyle [B^{i},{\mathfrak {j}}]\subset B^{i-1}}$.

Звідси ${\displaystyle [B^{i},{\mathfrak {h}}]\subset B^{i-1}}$ і ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}^{n}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {g}}.}$

• Нільпотентна алгебра Лі

• Winter, David J. (1972). Abstract Lie algebras. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London. ISBN 978-0-486-46282-0. MR 0332905.