Теорема Енгеля

Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр.

Необхідні означення

Нехай скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k. Якщо — підмножини алгебри, то позначає скінченні суми елементів виду де

Нижній центральний ряд алгебри Лі вводиться послідовно: .

Якщо — підалгебра Лі, то можна також ввести зростаючі центральні ряди: Для позначення також використовується

Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо для деякого числа. Еквівалентно, якщо ввести позначення то алгебра Лі буде нільпотентною якщо для деякого натурального числа n і виконується adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0.

Алгебра Лі називається ad-нільпотентною, якщо кожне лінійне відображення є нільпотентним.

Твердження теореми

Скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона є ad-нільпотентною.

Доведення

Якщо алгебра Лі є нільпотентною, то існує число n для якого adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0 для всіх Зокрема звідси і всі оператори є нільпотентними.

Навпаки, нехай — скінченновимірна ad-нільпотентна алгебра Лі. Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли факторалгебра по центру алгебри є нільпотентною. Дійсно ця факторалгебра є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли для деякого n виконується Але тоді

Для введених вище зростаючих центральних рядів а є центром алгебри Тому тоді і тільки тоді коли

Якщо для підалгебри усі лінійні оператори є нільпотентними, то З цього твердження для і попереднього критерію нільпотентності випливає теорема Енгеля.

Доведення можна здійснювати по розмірності алгебри . Для n=1 воно відразу випливає із означення нільпотентності . Нехай розмірність є більшою одиниці і — її максимальна власна підалгебра Лі. Тоді згідно припущення індукції існує число m для якого і

Візьмемо таке число j, що але Нехай також Тоді і тому є підалгеброю у і зважаючи на максимальність і є ідеалом у

Далі для всіх i. Справді, очевидно і якщо твердження справедливе для всіх чисел менше i і то і тому

Далі, оскільки відображення є нільпотенним і стабілізує підалгебри послідовності

то існує подрібнення

для якого і також .

Звідси і

Див. також

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.