Нільпотентна матриця

Матриця

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною, оскільки M² = 0. Більш загально, будь-яка трикутна матриця всі діагональні елементи якої рівні 0 є нільпотентною порядку ${\displaystyle \leq n}$. Наприклад, матриця

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною:

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Матриця

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною, оскільки її квадрат дорівнює нулю, хоча всі елементи матриці є ненульовими.

Матриця розмірності n × n і виду:

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

є нільпотентною порядку n.

Як частковий випадок жорданової нормальної форми кожна нільпотентна матриця N є подібною до блокової матриці виду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

де кожен з блоків S₁, S₂, ..., S_r є матрицею виду розглянутого вище.

Наприклад будь-яка ненульова нільпотентна матриця порядку 2 × 2 є подібною до матриці

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Дана теорема про класифікацію справедлива для довільного поля, не обов'язково алгебраїчно замкнутого.

Нільпотентне перетворення L на просторі Rⁿ визначає послідовність підпросторів

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

і послідовність цілих чисел

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

Дана послідовність чисел визначає L з точністю до оборотних лінійних перетворень. Окрім того справедливі нерівності:

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

Навпаки довільна послідовність натуральних чисел, що задовольняють цим послідовностям пов'язана з деяким нільнотентним перетворенням.

Для квадратної матриці N порядку n × n з дійсними чи комплексними елементами, наступні твердження є еквівалентними:

• Матриця N є нільпотентною.
• Мінімальний многочлен матриці N рівний x^k для деякого натурального числа k ≤ n.
• Характеристичний многочлен матриці N рівний xⁿ.
• Всі власні значення матриці N дорівнюють 0.[5]
• Слід матриць (N^k) = 0 для всіх k > 0.

Останнє твердження справедливе для всіх полів характеристики 0 або достатньо великої характеристики.

• Порядок нільпотентної матриці розмірності n × n завжди менший або рівний n.
• Визначник і слід нільпотентної матриці дорівнюють 0. Відповідно кожна нільпотентна матриця є виродженою.
• Єдиною нільпотентною діагоналізовною матрицею є нульова матриця.
• Якщо N — нільпотентна матриця, то матриця I + N є оборотною, де I є одиничною матрицею розмірності n × n. Обернена матриця задається рядом:${\displaystyle (I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots .}$

З нільпотентності N випливає, що лише скінченна кількість доданків у ряді є ненульовими.

• Якщо матриця N є нільпотентною то ${\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,}$

Навпаки якщо A є матрицею і ${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

для всіх t, то A є нільпотентною. Оскільки ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ є многочленом степеня ${\displaystyle n}$, достатньо виконання рівності лише для ${\displaystyle n+1}$ різних значень ${\displaystyle t}$.

• Кожна вироджена матриця може бути записана як добуток нільпотентних матриць.[6]
• Якщо A і B — дві комутуючі квадратні нільпотентні матриці однакової розмірності, то нільпотендним буде і їх добуток і всі лінійні комбінації.

Справді, якщо p є більшим з порядків нільпотентності матриць A і B то:

${\displaystyle (AB)^{p}=A^{p}B^{p}=0}$

і, оскільки i або 2p – i є не меншим від p то:

${\displaystyle (\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum _{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha ^{i}\beta ^{2p-i}A^{i}B^{2p-i}=0.}$

• Нільпотентний елемент
• Уніпотентна матриця

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston: Houghton Mifflin Co. ISBN 0-395-14017-X.
• Herstein, I. N. (1964). Topics In Algebra. Waltham: Blaisdell Publishing Company. ISBN 978-1114541016.
• Nering, Evar D. (1970). Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd). New York: Wiley. LCCN 76091646.

• Nilpotent matrix і nilpotent transformation on PlanetMath.