Теорема Крамера про розклад нормального розподілу
Теорема Крамера про розклад нормального розподілу — твердження в теорії ймовірностей. Легко бачити, що якщо випадкові величини і незалежні та нормально розподілені, то їх сума також нормально розподілена. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження. Цей результат був передбачений П.Леві[1] та доведений Г.Крамером[2]. Наслідком отримання цього результату було виникнення нового напрямку в теорії ймовірностей — теорії розкладів випадкових величин на незалежні доданки (арифметики ймовірнісних розподілів)[3].
Формулювання теореми
Нехай випадкова величина має нормальний розподіл та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин . Тоді випадкові величини та також нормально розподілені.
Доведення теореми Крамера про розклад нормального розподілу спирається на теорію цілих функцій.
Джерела
- Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402
- Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.
- Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.