Теорема Крамера про розклад нормального розподілу

Теорема Крамера про розклад нормального розподілу — твердження в теорії ймовірностей. Легко бачити, що якщо випадкові величини $\xi _{1}$ і $\xi _{2}$ незалежні та нормально розподілені, то їх сума також нормально розподілена. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження. Цей результат був передбачений П.Леві[1] та доведений Г.Крамером[2]. Наслідком отримання цього результату було виникнення нового напрямку в теорії ймовірностей — теорії розкладів випадкових величин на незалежні доданки (арифметики ймовірнісних розподілів)[3].

Формулювання теореми

Нехай випадкова величина $\xi$ має нормальний розподіл та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$ . Тоді випадкові величини $\xi _{1}$ та $\xi _{2}$ також нормально розподілені.

Доведення теореми Крамера про розклад нормального розподілу спирається на теорію цілих функцій.

Див. також

Теорема Крамера для локально компактних абелевих груп

Джерела

Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402
Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.
Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402

[2] Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.

[3] Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.