Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі

Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — розподіл ${\displaystyle \gamma }$ на локально компактній сепарабельній метричній абелевій групі ${\displaystyle X}$, який задовольняє наступним умовам:

(i) ${\displaystyle \gamma }$ — безмежно подільний розподіл;

(ii) якщо ${\displaystyle \gamma =e(F)*\nu }$, де ${\displaystyle e(F)}$ — узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою ${\displaystyle F}$, а ${\displaystyle \nu }$ — безмежно подільний розподіл, то міра ${\displaystyle F}$ вироджена в нулі.

Для групи ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ це визначення збігається з класичним. Носій розподілу Гауса ${\displaystyle \gamma }$ — клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи ${\displaystyle X}$.

Нехай ${\displaystyle Y}$ — група характерів групи ${\displaystyle X}$. Розподіл ${\displaystyle \gamma }$ на групі ${\displaystyle X}$ є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли його характеристична функція може бути представлена у вигляді

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(y)=(x,y)\exp\{-\varphi (y)\}}$,

де ${\displaystyle (x,y)}$ — значення характеру ${\displaystyle y\in Y}$ на елементі ${\displaystyle x\in X}$, а ${\displaystyle \varphi (y)}$ — неперервна невід'ємна функція на ${\displaystyle Y}$, яка задовольняє рівнянню

${\displaystyle \varphi (u+v)+\varphi (u-v)=2[\varphi (u)+\varphi (v)],u,v\in Y}$ ([1]).

Розподіл Гауса називається симетричним, якщо ${\displaystyle x=0}$. Нехай ${\displaystyle \Gamma (X)}$ — множина розподілів Гауса на групі ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Gamma ^{s}(X)}$ — множина симетричних розподілів Гауса на групі ${\displaystyle X.}$ Розподіл ${\displaystyle \gamma \in \Gamma ^{s}(X)}$ є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у лінійному просторі (скінченновимірному ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ або нескінченновимірному ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$— просторі всіх послідовностей з топологією покоординатної збіжності) ([2], [3]).

Якщо розподіл ${\displaystyle \gamma }$ можна вкласти в неперервну однопараметричну півгрупу ${\displaystyle \gamma _{t},t\geq 0}$, розподілів на ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (X)}$ тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\gamma _{t}(X\backslash U) \over t}=0}$ для будь-якого околу нуля ${\displaystyle U}$ групи ${\displaystyle X}$([4]).

Нехай ${\displaystyle X}$ — зв'язна група, ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (X)}$. Якщо група ${\displaystyle X}$ не локально зв'язна, то ${\displaystyle \gamma }$ сингулярний (відносно міри Хаара на ${\displaystyle X}$) ([2], [3]). Якщо ${\displaystyle X}$ локально зв'язна і має скінчену розмірність, то ${\displaystyle \gamma }$ або абсолютно неперервний, або сингулярний. Питання про справедливість аналогічного твердження на локально зв'язних групах нескінченої розмірності відкритий, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса.

На зв'язних групах скінченої розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі — будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні ([2], [3]).

Справедливою є наступна теорема ([5]), яку можна розглядати як аналог теореми Крамера про розклад нормального розподілу для локально компактних абепевих груп.