Теорема Леві про монотонну збіжність

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — фіксований простір з мірою.

• Припустимо, що ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ - монотонна і майже всюди невід'ємна функціональна послідовність інтегровних за Лебегом функцій на ${\displaystyle X}$. Тоді

${\displaystyle \int \limits _{X}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,\mu (dx)=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx).}$

• Нехай ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій ${\displaystyle f_{n}(x)}$ обмежені в сукупності, тобто ${\displaystyle \exists K:\forall n\in \mathbb {N} ,\int \limits _{X}{f_{n}(x)}\mu (dx)<K}$. Тоді гранична функція ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ скінченна майже всюди, інтегровна і ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\mu (dx)=\lim _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\mu (dx)}$.
• Нехай ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\phi _{k}(x)}$ складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:

${\displaystyle \int \limits _{X}\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)\mu (dx)\leq C}$,

то ряд ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{X}\phi _{k}(x)\mu (dx)=\int \limits _{X}\phi (x)\mu (dx)}$.

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій ${\displaystyle \Omega }$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}\right]=\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}}$.

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6