Теорема Райкова

Нехай випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$. Тоді розподіли випадкових величин ${\displaystyle \xi _{1}}$ та ${\displaystyle \xi _{2}}$ є зсувами розподілів Пуассона.

Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).

Нехай ${\displaystyle X}$ — локально компактна абелева група. Позначимо через ${\displaystyle M^{1}(X)}$ півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на ${\displaystyle X}$, а  через ${\displaystyle E_{x}}$ — вироджений розподіл, зосереджений в точці ${\displaystyle x\in X}$. Нехай ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle \lambda >0}$.

Розподілом Пуассона, породженим мірою ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$, називається зсув розподілу виду

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).}$

Має місце наступне твердження.