Теорема Рао — Блеквела

Доведення для випадку коли параметр є одним числом тобто його розмірність рівна одиниці. Тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [\delta _{1}(X)-\theta ]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)|T(X))-\theta \right]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)-\theta |T(X))\right]^{2}\leqslant \operatorname {E} \left[{\textrm {E}}((\delta (X)-\theta )^{2}|T(X))\right]=\operatorname {E} (\delta (X)-\theta )^{2}.\,\!}$

Нерівність випливає з того, що для будь-якої випадкової величини W, ${\displaystyle \operatorname {var} W=\operatorname {E} W^{2}-(\operatorname {E} W)^{2}]\geqslant 0,}$ якщо взяти ${\displaystyle W={\textrm {E}}(\delta (X)-\theta |T(X)).\,}$ Звідси також бачимо, що рівність виконується лише коли ${\displaystyle \operatorname {var} \,W=0,\,}$ тобто коли ${\displaystyle \delta (X)-\theta }$ приймає одне значення для кожного значення T, тобто ${\displaystyle \delta (X)}$ є функцією від T.

• Достатня статистика
• Статистична оцінка

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика — Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. Chapter 4. ISBN 0-387-98502-6.