Теорема Рімана про умовно збіжний ряд

Візьмемо довільне число ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Побудова перестановки ${\displaystyle \sigma }$ множини ${\displaystyle \mathbb {N} }$ здійснюється наступним чином. Вибирається найменша достатня кількість послідовних додатних членів, щоб часткова сума перевищувала ${\displaystyle \alpha \,}$ (це можливо згідно з (1)). Тоді вибирається найменша достатня кількість послідовних від'ємних членів, щоб часткова сума не перевищувала ${\displaystyle \alpha \,}$ (це можливо згідно з (1)). Продовжуючи цю процедуру до нескінченності, одержуємо перестановку.

Нехай ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Існує натуральне число ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} ,}$ що для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle n\geq N_{0}\Longrightarrow |u_{n}|<\varepsilon .}$

Існує ${\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} ,}$ що для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle n\geq N_{1}\Longrightarrow |u_{\sigma (n)}|<\varepsilon .}$

Наприклад, достатньо взяти ${\displaystyle N_{1}=1+\max\{\sigma ^{-1}(0),\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}(N_{0})\}}$.

Позначимо ${\displaystyle N_{2}}$ найменше число, строго більше ${\displaystyle N_{1}}$ для якого ${\displaystyle u_{\sigma (N_{2})}}$ і ${\displaystyle u_{\sigma (N_{2}+1)}}$ мають протилежні знаки. Тоді виконується

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{N_{2}-1}u_{\sigma (k)}\right|\leq |u_{\sigma (N_{2})}|\leq \varepsilon .}$

Для ${\displaystyle n\geq 2}$, позначимо твердження

${\displaystyle {\mathcal {P}}(n):\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

Вище було показано, що твердження ${\displaystyle {\mathcal {P}}(N_{2}-1)}$ є справедливим. Нехай воно справедливе для ${\displaystyle n\geq N_{2}-1}$. Розглянемо два випадки:

• Перший випадок

${\displaystyle 0<\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq \varepsilon .}$

Тоді ${\displaystyle 0\leq u_{\sigma (n+1)}\leq \varepsilon }$ і

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

• Другий випадок

${\displaystyle -\varepsilon \leq \alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq 0.}$

Тоді ${\displaystyle -\varepsilon \leq u_{\sigma (n+1)}<0}$ і

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

Застосовуючи математичну індукцію, маємо:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq N_{2}\Longrightarrow \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon ,}$

що й доводить твердження.