Теорема про заборону комунікації

Теорема про заборону комунікації стверджує, що в рамках квантової механіки неможливо передати класичні біти інформації за допомогою ретельно підготовлених змішаних або чистих станів, незалежно від того, чи є вони сплутаними. Теорема забороняє передачу через спільні квантові стани будь-якої інфомації, а не тільки передачу інформації швидше ніж швидкість світла.

Основним припущенням, на якому тримається теорема, є справедливість законів квантової механіки. Аналогічні теореми можуть бути або не бути справедливими в рамках інших теорій[1], таких як теорії прихованих параметрів. Теорема про заборону комунікації не накладає обмежень на такі теорії.

Припускається, що в початковому стані квантовомеханічна система перебуває в чистому або змішаному стані в гільбертовому просторі H. Система далі еволюціонує так, що з часом її можна розбити на дві просторово розділені частини A та B, де її спостерігають Аліса і Боб, яким дозволено виконувати вимірювання над частиною спільної системи. Постає питання: чи може Аліса зробити що-небудь таке, що його міг би зареєструвати Боб? І теорема відповідає: «Ні».

Важливим припущенням теореми є те, що ні Алісі, ні Бобу не дозволено жодним чином впливати на приготування початкового стану. Якщо Алісі було б дозволено приготувати початковий стан, то вона могла б з легкістю закласти в нього повідомлення, тож як Алісі, так і Бобу такі дії заборонені. Теорема не вимагає того, щоб початковий стан був якимось конкретним: випадковим, збалансованим чи однорідним: третій учасник експерименту може легко закодувати в підготовлений стан будь-яке послання, і Боб та Аліса його приймуть. Теорема просто стверджує, що як би не був підготовлений початковий стан, Аліса не може зробити з ним нічого такого, що міг би зареєструвати Боб.

Далі в доказі визначається як розбити загальний гільбертів простір H на дві частини H_A та H_B, які описують підпростори, доступні Алісі й Бобу. Вважається, що загальний стан системи описується матрицею густини σ. Це розумне припущення, оскільки матриця густини може описувати як чисті так і змішані квантовомеханічної стани. Іншим важливим припущенням теореми є те, що вимірювання виконуються застосуванням узагальненого проективного оператора P до стану σ. Знову ж, це розумно, оскільки оператор проекції дає правильний математичний опис квантовомеханічних вимірювань. Вимірювання Аліси призводить до колапсу загального стану системи до стану P(σ).

Мета теореми — доказати, що Боб жодним чином не може відрізити стан, який був перед вимірюванням, від стану P(σ), що утворився після вимірювання. Математично це здійснюється порівнянням сліду стану σ зі слідом стану P(σ) на підпросторі H_A. Оскільки слід береться тільки по підпростору, його називають частковим слідом. Ключовим на цьому кроці є припущення, що частковий слід адекватно відображає точку зору Боба. Тобто все, до чого Боб має або матиме коли-небуть доступ, що він може виміряти чи детектувати повністю описується частковим слідом по підпростору H_A системи σ. Знову ж, ще розумне припущення, бо воно є частиною стандартної квантової механіки. Той факт, що цей слід не змінюється після вимірювань Аліси, дозволяє зробити висновок про неможливість комунікації.

Доведення теореми зазвичай ілюструють в умовах перевірки теореми Белла. Двоє спостерігачів Аліса та Боб виконують локальні вимірювання над спільною для них системою двох частинок. Теорема використовує статистичний апарат квантової механіки: матрицю густини й квантові оператори[2].

Аліса та Боб виконують вимірювання над системою S, гільбертів простір якої визначений як

${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}.}$

Щоб уникнути проблем із розбіжностями, припускається, що всі розмірності скінченні. Стан спільної системи задається оператором густини на H. Будь-який оператор густини σ на H має вигляд:

${\displaystyle \sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}}$

де T_i та S_i є операторами на H_A та H_B. Для доведення не обов'язково, щоб T_i та S_i були б проективними операторами стану: тобто їм не обов'язково буди невід'ємними чи мати одиничний слід. Так σ може бути визначена дещо ширше, ніж матриця густини, теорема залишатиметься справедливою. Для сепарабельних станів теорема взагалі тривіальна. Якщо спільний стан σ сепарабельний, зрозуміло, що будь-яка локальна дія Аліси не вплине на систему Боба. Сенс теореми в тому, щоб доказати відсутність можливості комунікації у випадку спільного заплутаного стану.

Аліса виконує локальні вимірювання на своїй підсистемі. У загальному випадку це описується квантовою операцією над станом системи на кшталт

${\displaystyle P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),}$

де V_k називають матрицями Крауса. Вони задовольняють умові

${\displaystyle \sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.}$

Член

${\displaystyle I_{H_{B}}}$

у виразі

${\displaystyle (V_{k}\otimes I_{H_{B}})}$

означає, що вимірювання приладу Аліси не впливають на підсистему Боба.

Припускаючи, що спільна система приготовленя в стані σ, та розглядаючи нерелятивістький випадок, одразу ж (без часової затримки) після Алісиногго вимірювання, відносний стан Бобової підсистеми задається частковим слідом загального стану щодо Алісиної підсистеми. Математично, відносний стан Бобовоої підсистеми після Алісиної дії записується

${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))}$

де ${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}}$ є частковим слідовим відображенням щодо Алісиної підсистеми.

Цей стан можна вирахувати безпосередньо:

${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}}$

${\displaystyle =\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}}$

${\displaystyle =\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).}$

Виходячи з цього, можна стверджувати, що статистично Боб не може визначити, що зробила Аліса, і чи робила вона що-небудь взагалі.

• Якщо оператору густини ${\displaystyle P(\sigma )}$ дозволено еволювати під дією нелогальної взаємодії між підсистемами A та B, тоді загалом доведення теореми стає несправедливим, якщо лише не припустити певні комутаційні співвідношення[3].
• Теорема про заборону комунікації стверджує, що для передачі інформації простого заплутування недостатньо. Це можна порівняти з теоремою про заборону телепортації, яка стверджує, що класичним інформаційним каналом неможливо передати квантову інформацію. (Під передачею розуміється повністю достовірний обмін). Проте схеми квантової телепортації використоювують обидва ресурси з метою досягнення того, що неможливо для кожного зокрема.
• Теорема про заборону комунікації неявно використовує теорему про заборону клонування, що стверджує неможливість копіювання (досконалого) квантових станів. Тобто, клонування було б достатньою умоваю для передачі класичної інформації. Щоб це зрозуміти, припустимо, що квантовий стан можна клонувати. Нехай частину максимально заплутаного стану в досліді Белла передано Алісі та Бобу. Аліса може переслати свої біти Бобу так: ящо вона бажає передати "0", вона вимірює спін електрона в напрямку z, змушуючи Бобів стан колапсувати або до ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ або ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$. Для передачі "1" Аліса не робить зі своїм кубітом нічого. Боб створює багато копій свого електронного стану й вимірює спін кожної копії в напрямку z. Він знає, якщо Аліса передала "0", усі його вимірювання даватимуть однаковий результат, у іншому випадку ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ та ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ матимуть однакову ймовірність. Так Аліса й Боб могли б обмінюватися інформацією (можливо навіть при простороподібному інтервалі між собою, порушуючи принцип причинності.

• Описаний тут варіант теореми про заборону комунікації робить припущення, що спільна для Аліси та Боба квантова система є композитною, тобто спільний гільбертів простір є тензорним добутком, перший множник якого відповідає частині системи, з якою може взаємодіяти Аліса, а другий — частині системи, з якою може взаємодіяти Боб. У квантовій теорії поля це припущення можна замінити припущенням, що Аліса та Боб розділені простороподібним інтервалом[4]. Ця альтернативна версія теореми про заборону комунікації доказує, що спілкування з надсвітловою швидкістю неможливе для систем, для яких справедливі правила квантової теорії поля.
• Доведенння теореми про заборону комунікації робить припущення, що усі вимірні властивості Бобової системи можна обчислити з його зведеної матриці густини. Це припущення справедливе, якщо виконується правило Борна обчислення ймовірності отримати певний результат вимірювання. Однак, змінюючи правило Борна можна в загальному випадку побудувати теорії, у яких зведена матриця густини не містить інформацїі про всі фізично вимірні властивості, а тому в рамках таких теорії надсвітлове спілкування можливе[5].

• Теорема про заборону клонування
• Теорема про заборону телепортації

• Hall, M.J.W. Imprecise measurements and non-locality in quantum mechanics, Phys. Lett. A (1987) 89-91
• Ghirardi, G.C. et al. Experiments of the EPR Type Involving CP-Violation Do not Allow Faster-than-Light Communication between Distant Observers, Europhys. Lett. 6 (1988) 95-100
• Florig, M. and Summers, S. J. On the statistical independence of algebras of observables, J. Math. Phys. 38 (1997) 1318- 1328