Теорема про заборону клонування

Нехай ми хочемо створити копію системи A, яка знаходиться в стані (див. означення Дірака). Для цього візьмемо систему B з таким самим гільбертовим простором, яка знаходиться в початковому стані . Початковий стан, звичайно, не повинен залежати від стану , оскільки цей стан нам невідомий. Система утворена сумою A + B (складена система) описується тензорним добутком станів підсистем:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.}$

Зі складеною системою можна провести дві різні дії.

1. Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що не можна одночасно виміряти величини, чиї оператори не комутують. Проблема в тому, що в процесі вимірювання вектор стану коллапсує, інформація про нього втрачається. Якщо у нас спочатку немає множини копій вихідної системи, то дізнатися значення коефіцієнтів з одного виміру неможливо. Тобто конвертувати квантову інформацію в класичну теж не вийде. Тому ми можемо виміряти тільки стан системи, що призведе до необоротного переходу системи в одне з ЇЇ власних станів і до (часткової) втрати інформації про вихідний стан системи A. Очевидно, такий сценарій нам не підходить.
2. Інша можливість полягає в застосуванні унітарного перетворення U, належним чином «налаштовуючи» гамільтоніан системи. Оператор U буде клонувати стан системи, якщо

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}}$

і ${\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$

для всіх ${\displaystyle |\phi \rangle }$ і ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Згідно з визначенням унітарного оператора, U зберігає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},}$

тобто

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$

З цього випливає, що або ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle ,}$ або стани ${\displaystyle |\phi \rangle }$ і ${\displaystyle |\psi \rangle }$ортогональні (що в загальному випадку, звичайно, невірно). Таким чином, операція U не може клонувати довільний квантовий стан. Теорема про заборону клонування доведена.

Може здатися, що заборона на клонування робить принципово неможливою телепортацію квантової системи. Неявно мається на увазі, що для телепортації необхідно мати всю інформацію про систему, передати її в інше місце і використовувати для відновлення абсолютно точної копії вихідного об'єкта, що неможливо згідно з принципом невизначеності Гейзенберга. Проте алгоритм квантової телепортації був відкритий в 1993 році.

Хоча створення точних копій невідомого квантового стану неможливе, можна тиражувати його неточні копії. Для цього потрібно привести вихідну систему у взаємодію з більшою допоміжною системою і провести спеціальне унітарне перетворення комбінованої системи, в результаті якого кілька компонентів більшої системи стануть приблизними копіями вихідної. Такий процес може бути використаний для атаки на квантові криптографічні системи, а також для інших цілей у квантових обчисленнях. Квантова телепортація не передає енергію або речовину на відстань. Проте в червні 2017 року китайські вчені здійснили квантову телепортацію на відстань понад 1200 кілометрів. Ефективність передачі інформації новим методом на 17 порядків перевищує показники поширених комерційних оптико-волоконних кабелів.

• Квантова телепортація
• Сплутані квантові стани
• Квантовий комп'ютер
• Квантова криптографія

• Wootters W., Zurek W. H. A Single Quantum Cannot be Cloned // Nature / P. Campbell — Nature Publishing Group, 1982. — Vol. 299. — P. 802—803. — ISSN 0028-0836; 1476-4687 — doi:10.1038/299802A0
• Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A — Elsevier, 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271—272. — ISSN 0375-9601; 1873-2429 — doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6
• Buzek V., Hillery M. Quantum cloning: Beyond the No-Cloning Theorem // Phys. Rev. A — APS, 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 25-29. — ISSN 1050-2947; 1094-1622; 0556-2791; 2469-9926; 2469-9934 — doi:10.1103/PHYSREVA.54.1844 — arXiv: quant-ph/9607018
• Scarani V., Iblisdir S., Gisin N. et al. Quantum cloning // Rev. Mod. Phys. / G. D. Sprouse — American Physical Society, 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225—1256. — ISSN 0034-6861; 1539-0756 — doi:10.1103/REVMODPHYS.77.1225 — arXiv: quant-ph/0511088
• Бауместер Д., Екерт А., Цайлінгер А. Фізика квантової інформації. М.: Постмаркет, 2002. 376 с.
• Нільсен М., Чанг В. Квантові обчислення і квантова інформація. М.: Світ, 2006. 824 с.
• Прескілл Дж. Квантова інформація та квантові обчислення. Том 1. РХД, 2008. 464 с. ISBN 978-5-93972-651-1