Теорема про монотонний клас

Монотонним класом підмножин називається клас ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ підмножин деякої множини ${\displaystyle \Omega }$, який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:

1. Якщо ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}}$ і ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ тоді ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}$
2. Якщо ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}}$ і ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }$ тоді ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}$

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є кільцем множин і ${\displaystyle m({\mathcal {R}})}$ позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто ${\displaystyle m({\mathcal {R}})=\bigcap M({\mathcal {R}}),}$ де перетин береться по всіх монотонних класах ${\displaystyle M({\mathcal {R}}),}$ що містять кільце ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$ Тоді ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})=m({\mathcal {R}}),}$ тобто ${\displaystyle m({\mathcal {R}})}$ є рівним σ-кільцю породженому ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — перетину всіх σ-кілець, що містять ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Нехай спершу ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є також σ-кільцем. Справді нехай ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1}$. Тоді із означення кільця випливає, що для кожного ${\displaystyle n\geqslant 1}$ множина ${\displaystyle B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {R}}.}$ Також ${\displaystyle B_{n}\subset B_{n+1}}$ для кожного ${\displaystyle n\geqslant 1}$ і оскільки ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є монотонним класом, то ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {R}}.}$ Але ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}.}$ Тому ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є σ-кільцем.

У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то ${\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset \sigma ({\mathcal {R}}).}$ Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також ${\displaystyle m({\mathcal {R}})}$ є кільцем.

Для довільної множини ${\displaystyle E\in m({\mathcal {R}})}$ позначимо:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(E)=\{C\subset \Omega \ |\ E\cup C,\ E\setminus C,\ C\setminus E\in m({\mathcal {R}})\}.}$

Тоді:

1. Для кожного ${\displaystyle E\in {\mathcal {R}}:\ {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {L}}(E).}$
2. Для кожного ${\displaystyle F\in m({\mathcal {R}})}$ сім'я множин ${\displaystyle {\mathcal {L}}(F)}$ є монотонним класом.

Перша властивість відразу випливає із того, що ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є кільцем і ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset m({\mathcal {R}})}$. Для другої властивості нехай ${\displaystyle B_{n}\in {\mathcal {L}}(F),\quad n\geqslant 1}$ і ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots }$. Тоді для ${\displaystyle n\geqslant 1}$ також ${\displaystyle (B_{n}\cup F)\subset (B_{n+1}\cup F),}$ ${\displaystyle (B_{n}\setminus F)\subset (B_{n+1}\setminus F)}$ і ${\displaystyle (F\setminus B_{n+1})\subset (F\setminus B_{n}).}$ Із того, що ${\displaystyle \ F\cup C,\ F\setminus C,\ C\setminus F\in m({\mathcal {R}})}$ і означення монотонного класу також

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \bigcup F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\cup F)\in m({\mathcal {R}}).}$

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \setminus F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\setminus F)\in m({\mathcal {R}}).}$

${\displaystyle F\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ =\bigcap _{n=1}^{\infty }(F\setminus B_{n})\in m({\mathcal {R}}).}$

Відповідно ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {L}}(F).}$ Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини ${\displaystyle E\in {\mathcal {R}}}$ згідно другої властивості сім'я множин ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E)}$ є монотонним класом, який згідно першої властивості містить ${\displaystyle {\mathcal {R}},}$ то ${\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(E).}$ Тому для кожної ${\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})}$ і всіх ${\displaystyle E\in {\mathcal {R}}}$ також ${\displaystyle E\cup A_{1},\ E\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus E}$, відповідно для кожної ${\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})}$ також ${\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(A_{1}).}$ Відповідно згідно означень для довільних ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in m({\mathcal {R}})}$ множини ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2},\ A_{2}\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus A_{2}}$ теж належать ${\displaystyle m({\mathcal {R}}).}$ Відповідно ${\displaystyle m({\mathcal {R}})}$ є кільцем, а тому і σ-кільцем.

• Алгебра (теорія множин)
• Кільце множин
• Сигма-алгебра
• Сигма-кільце

• Дороговцев, А. Я. (1989). Элементы общей теории меры и интеграла. К.: Вища школа. с. 152. ISBN 5-11-001190-7.