Теорема про неявну функцію

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• Неперервна у деякому околі точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}$ і
• При фіксованому ${\displaystyle x}$, функція ${\displaystyle F(x,y)}$ строго монотонна по ${\displaystyle y}$ у даному околі

тоді у деякому двовимірному проміжку ${\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}$, що є околом точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, і така неперервна функція ${\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}$, що для будь-якої точки ${\displaystyle (x,y)\in I}$

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

Звичайно додатково передбачається, що функція ${\displaystyle F}$ неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що ${\displaystyle F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad }$, тут ${\displaystyle F_{y}'}$ позначає часткову похідну ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle y}$. Більш того, в цьому випадку, похідна функції ${\displaystyle f}$ може бути обчислена за формулою

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.}$

Нехай ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ — ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle m}$-вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ і ${\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{m})}$. Нехай ${\displaystyle F}$ відображає деякий окіл ${\displaystyle W}$ точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$ у простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ і ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}}$ — координатні функції (від змінних ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}}$) відображення ${\displaystyle F}$, тобто ${\displaystyle F=(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})}$.

Припустимо, що ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}$ і відображення ${\displaystyle F}$ — неперервно диференційовне в околі ${\displaystyle W}$, а якобіан відображення ${\displaystyle y\mapsto F(x_{0},y)}$ не рівний нулю в точці ${\displaystyle y_{0}}$, тобто визначник матриці ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ не рівний нулю. Тоді існують околи ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$ точок ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle y_{0}}$ відповідно в просторах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, причому ${\displaystyle U\times V\subset W}$, і єдине відображення ${\displaystyle f:U\to V}$, таке, що для всіх ${\displaystyle x\in U}$ виконується тотожність ${\displaystyle F(x,f(x))=0\,}$. При цьому ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ і відображення ${\displaystyle f}$ є ${\displaystyle k}$ раз неперервно диференційовним на ${\displaystyle U}$. Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується

${\displaystyle {\frac {df}{dx_{j}}}(x)=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x,f(x))\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}(x)}$.

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)