Якобіан

Якобіан — визна́чник матриці Якобі.

При заміні змінних ${\displaystyle u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{m})}$ Якобіан визначається як

${\displaystyle J=\left|{\begin{matrix}{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{m}}}\end{matrix}}\right|.}$

Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні:

${\displaystyle du_{1}\cdot \ldots du_{m}=|J|dx_{1}\cdot \ldots dx_{m}}$.

Крім позначення літерою J використовується також позначення

${\displaystyle J={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}}$.

Якобіан має ряд властивостей, подібних до властивостей похідної. Зокрема

${\displaystyle {\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}}$.

${\displaystyle {\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {1}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(u_{1},\ldots ,u_{m})}}}}$.