Теореми Веєрштрасса в банахових просторах

Теоре́ми Веєрштра́сса в Бана́хових про́сторах

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — метрика в метричному просторі ${\displaystyle B}$, тобто ${\displaystyle \mu :B\times B\to R}$:

1. для будь-яких ${\displaystyle x,y:\mu (x,y)\geq 0,\mu (x,y)=0\iff x=y}$.

2. ${\displaystyle \mu (x,y)=\mu (y,x)}$.

3. ${\displaystyle \mu (x,z)+\mu (z,y)\geq \mu (x,y)}$.

Означення 1. Функціонал ${\displaystyle f}$ називається ${\displaystyle \mu }$ — напівнеперервним знизу, якщо ${\displaystyle \mu (x_{n},x)\to 0\implies \lim _{x\to \infty }f(x_{n})\geq f(x)}$.

Означення 2. Множина ${\displaystyle X}$ з метричного простору ${\displaystyle B}$ називається ${\displaystyle \mu }$ — компактною, якщо з довільної послідовності точок ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ можна обрати підпослідовність збіжну до ${\displaystyle x\in X}$.

Теорема 1. Якщо функція ${\displaystyle f}$ є визначеною, скінченною, ${\displaystyle \mu }$ — напівнеперервною знизу на ${\displaystyle \mu }$ — компактній множині ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle f}$ досягає на ${\displaystyle X}$ свого мінімального значення. Тобто існує ${\displaystyle x\in X:f(x)=\inf _{y\in X}f(x)}$.

Нехай тепер ${\displaystyle E}$ — банахів простір.

Означення 3. Послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset E}$ називається слабко збіжною до елемента ${\displaystyle x\in E}$, якщо для будь-якого лінійного неперервного функціонала ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x_{n})\to F(x)}$.

Означення 4. Функціонал ${\displaystyle f}$ називається слабконапівнеперервним знизу, якщо з того що ${\displaystyle x_{n}\to x}$ випливає, що ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})\geq f(x)}$.

Означення 5. Множина ${\displaystyle X}$ з банахового простору ${\displaystyle E}$ називається слабкокомпактною, якщо з довільної послідовності точок ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої ${\displaystyle x\in X}$.

Теорема 2. Якщо функція ${\displaystyle f}$ визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle f}$ досягає на ${\displaystyle X}$ свого мінімального значення.