Теорія Рамсея
Теорія Ремзі — розділ математики, який вивчає умови, за яких у довільно сформованих математичних об'єктах зобов'язаний з'явитися певний порядок. Названа на честь Френка Ремзі.
Завдання теорії Ремзі зазвичай звучать у формі питання «скільки елементів має бути в деякому об'єкті, щоб гарантовано виконувалося задана умова чи існувала задана структура?». Найпростіший приклад:
- Довести, що в будь-якій групі з 6 осіб, знайдуться троє людей, знайомих одне з одним, або троє людей, попарно незнайомих одне з одним.
Класичні результати
Припустимо, наприклад, що ми знаємо, що кроликів розсаджено в кліток. Наскільки великим має бути щоб гарантовано в одній з кліток було принаймні 2 кроликів? Згідно з принципом Діріхле, якщо , то знайдеться клітка, в якій буде мінімум 2 кроликів. Теорія Ремзі узагальнює цей принцип.
Огляд результатів до 1990 р. дано в роботі[1].
Теорема Ремзі
Сам Ремзі довів таку теорему:
Нехай дано числа . Тоді існує таке число , що, як би ми не пофарбували ребра повного графу на вершинах у кольорів, знайдеться або повний підграф 1-го кольору на вершинах, або повний підграф 2-го кольору на вершинах, … або повний підграф -го кольору на вершинах.[2] |
Її було узагальнено на випадок гіперграфу.
Мінімальне число , за якого для заданого набору аргументів існує зазначене в теоремі розфарбування, називається числом Ремзі. Питання про значення чисел Ремзі за невеликим винятком залишається відкритим.
Теорема ван дер Вардена
Схожа за формулюванням, але відрізняється доведенням теорема ван дер Вардена:
Для кожного набору чисел існує таке число , що, як би ми не пофарбували перші натуральних чисел кольорів, знайдеться або арифметична прогресія 1-го кольору довжини , або арифметична прогресія 2-го кольору довжини , …, або арифметична прогресія -го кольору довжини .[3] |
Найменше таке число називається числом ван дер Вардена.
Замість множини натуральних чисел можна розглянути ґратку , а арифметичних прогресій — фігури в ній, гомотетичні даній, і твердження теореми залишиться правильним (узагальнена теорема ван дер Вардена).
Теорема Хейлса — Джеветта
Для будь-яких чисел і можна знайти число таке, що якщо комірки -вимірного куба зі стороною довжини розфарбовано в кольорів, то існує хоча б одна лінія (лінією вважаються рядки, стовпці, деякі діагоналі) з одноколірних комірок.[4] |
З цієї теореми випливає, що під час гри в багатовимірні хрестики-нулики при будь-якій довжині рядка та будь-якому числі гравців можна знайти таке число вимірів, що нічия буде неможлива.
Гіпотеза Ердеша — Секереша про опуклі багатокутники
Для будь-якого натурального , кожна достатньо велика множина точок у загальному положенні на площині має підмножину з точок, які є вершинами опуклого багатокутника.[5] |
Згідно з гіпотезою Ердеша та Секереша про опуклі багатокутники число точок в загальному положенні, у яких обов'язково існує опуклий -кутник задається формулою:
- для всіх
Вони ж довели, що у множині з меншим числом точок опуклий -кутник може не існувати.
Теорема Крута про одноколірний єгипетський дріб
Для будь-якої розмальовки цілих чисел більших від в кольорів існує скінченна одноколірна підмножина цілих така, що При цьому максимальний елемент, а отже й розмір множини обмежений показниковою функцією від з постійною основою. |
Цю гіпотезу Ердеша — Грема доведено Ернестом Крутом у 2003 році.
Особливості теорії
Для результатів у рамках теорії Ремзі характерні дві властивості. По-перше, вони неконструктивні. Доводиться, що деяка структура існує, але не пропонується жодного способу її побудови, окрім прямого перебору. По-друге, щоби шукані структури існували, потрібно, щоб об'єкти, які їх містять, складалися з дуже великого числа елементів. Залежність числа елементів об'єкта від розміру структури зазвичай, принаймні, експоненціальна.
Примітки
- Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H. (1990). Ramsey Theory (вид. 2nd). New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-50046-1..
- Ramsey, F. P. (1930). On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. Series 2 30: 264–286. doi:10.1112/plms/s2-30.1.264.
- van der Waerden, B. L. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw. Arch. Wisk. 15: 212–216.
- Hales A., Jewett R. Regularity and positional games // Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), p. 222—229.
- Erdős, P.; Szekeres, G. (1935). A combinatorial problem in geometry. Compositio Math 2: 463–470.
Література
- Мартин Гарднер. Глава 17. Теория Рамсея // От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам = Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers / пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М. : Мир, 1993. — С. 288—308. — 416 с. — 10 000 екз. — ISBN 5-03-001991-X.