Теорія Флоке

Теорія Флоке (англ. Floquet theory, рос. теория Флоке) — область теорії звичайних диференціальних рівнянь, що досліджує розв'язки лінійних диференціальних рівнянь вигляду

{\dot {x}}=A(t)x

,

де $A(t)=A(t+T)$ — матриця розмірності $N\times N$ , елементи якої є неперервними функціями змінної t. Носить ім'я французького математика Гастона Флоке, який вніс найбільший внесок [1] в її створення. Основою теорії є теорема Флоке.

Теорема Флоке є одновимірним випадком теореми Блоха. Остання є важливою теоремою фізики твердого тіла: вставновлює вид хвильової функції частинки, що знаходиться в періодичному потенціалі.

Теорема Флоке

Якщо $X(t)$ є фундаментальним матричним розв'язком системи рівнянь ${\dot {x}}=A(t)x$ , де $\ A(t)=A(t+T)$ для всіх $t\in \mathbb {R}$ , справедливі такі співвідношення:

$X(t+T)=X(t)~X^{-1}(0)~X(T).$

Для кожної (можливо комплексної) матриці $B$ , такої, що задовільняє співвідношенню

e^{TB}=X^{-1}(0)~X(T)

,

існує періодична з періодом

T

матрична функція

P(t)

така, що

X(t)=P(t)~e^{tB}

.

Існують дійсна матриця $R$ та дійсна періодична з періодом $2T$ матрична функція $Q(t)$ , така що

X(t)=Q(t)~e^{tR}

.

Матриця $e^{TB}$ називається матрицею монодромії, а її власні значення - множниками Флоке або характеристичними множниками.

Посилання

Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).

Література

Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
G. Iooss, D. D. Joseph (1997). Elementary Stability and Bifurcation Theory (англійська) (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-0387970684.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).