Тест другої часткової похідної

Гессіан дає наближення для функції у критичній точці за допомогою многочлена другого степеня.

Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:

${\displaystyle H(x,y)={\begin{pmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}}}$.

Нехай D(x, y) буде її визначником:

${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$.

Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує наступне:[1]

1. Якщо ${\displaystyle D(a,b)>0}$ і ${\displaystyle f_{xx}(a,b)>0}$ тоді ${\displaystyle (a,b)}$ є локальним мінімумом f.
2. Якщо ${\displaystyle D(a,b)>0}$ і ${\displaystyle f_{xx}(a,b)<0}$ тоді ${\displaystyle (a,b)}$ є локальним максимумом f.
3. Якщо ${\displaystyle D(a,b)<0}$ тоді ${\displaystyle (a,b)}$ є сідловою точкою f.
4. Якщо ${\displaystyle D(a,b)=0}$ тоді тест другої похідної неостаточний, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.

Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:

${\displaystyle \Delta f\simeq (x-x_{0})f_{x}+(y-y_{0})f_{y}+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}f_{xx}+(x-x_{0})(y-y_{0})f_{xy}+{\frac {1}{2}}(y-y_{0})^{2}f_{yy}.}$

У критичній точці

${\displaystyle \Delta f}$	${\displaystyle \simeq }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}f_{xx}+(x-x_{0})(y-y_{0})f_{xy}+{\frac {1}{2}}(y-y_{0})^{2}f_{yy}}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {(y-b)^{2}}{2}}{\bigg [}{\bigg (}{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}{\bigg )}^{2}f_{xx}+{\bigg (}{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}{\bigg )}f_{xy}+f_{yy}{\bigg ]}.}$

Очевидно, що ми уникаємо точки ${\displaystyle y=b,}$ інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну ${\displaystyle z={\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}},}$ маємо

${\displaystyle \Delta f={\frac {(y-b)^{2}}{2}}g(z).}$

Оскільки ${\displaystyle {\frac {(y-b)^{2}}{2}}\geq 0,}$ знак ${\displaystyle \Delta f}$ повністю визначає знак ${\displaystyle g(z).}$

Розглянемо квадратичну ${\displaystyle (A\neq 0)}$ функцію ${\displaystyle g(x)=Ax^{2}+2Bx+C.}$

1. Якщо ${\displaystyle AC-B^{2}>0,}$ і ${\displaystyle A>0}$ або ${\displaystyle C>0,}$ тоді ${\displaystyle g(x)>0}$ для всіх ${\displaystyle x.}$
2. Якщо ${\displaystyle AC-B^{2}>0,}$ і ${\displaystyle A<0}$ або ${\displaystyle C<0,}$ тоді ${\displaystyle g(x)<0}$ для всіх ${\displaystyle x.}$
3. Якщо ${\displaystyle AC-B^{2}<0,}$ тоді існують значення ${\displaystyle x}$ такі, що ${\displaystyle g(x)>0}$ і такі, що ${\displaystyle g(x)<0.}$

У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.

Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди у критичній точці, необхідно перевірити границі і нескінченність.

Доведення:

1. Нехай ${\displaystyle AC-B^{2}>0.}$ Якщо ${\displaystyle A>0,}$ тоді ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty ,}$ що означає, що ${\displaystyle g(x)>0}$ для деякого ${\displaystyle x.}$ З іншого боку, якщо ${\displaystyle C>0}$ тоді ${\displaystyle g(0)>0,}$ отже знов, ми знаємо, що існує ${\displaystyle x}$ коли ${\displaystyle g(x)>0.}$ Якщо ${\displaystyle g}$ і набуває від'ємних значень, то виходить, що ${\displaystyle g}$ мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення ${\displaystyle x}$ де ${\displaystyle g(x)=0:}$
   ${\displaystyle x={\frac {-2B\pm {\sqrt {(2B)^{2}-4AC}}}{2A}}={\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}}.}$
   ${\displaystyle AC-B^{2}>0,}$ це значить, що ${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$ тому значення ${\displaystyle x}$ отримані з цієї формули не дійсні (вони містять ненульову уявну частину). Це означає, що ${\displaystyle g(x)}$ ніколи не обертається в нуль для будь-якого ${\displaystyle x,}$ отже ${\displaystyle g}$ ніколи не перетинає вісь ${\displaystyle x,}$ тому ${\displaystyle \forall z,g(z)>0.}$
2. Цей випадок майже ідентичний попередньому.
3. Якщо ${\displaystyle AC-B^{2}<0,}$ то ${\displaystyle g(x)}$ перетинає вісь ${\displaystyle x}$ двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.