Тонка структура

У нерелятивістській квантовій теорії кінетичний член гамільтоніана дорівнює:

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$

Проте, враховуючи СТВ, ми повинні використовувати релятивістський вираз для кінетичної енергії,

${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

де перший член — це загальна релятивістська поправка, а другий член — це енергія спокою електрона. Розкладаючи цей вираз в ряд, отримуємо

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\dots }$

Тоді поправка першого порядку до гамільтоніану рівна

${\displaystyle H'=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}}$

Використовуючи це як збурення, ми можемо обчислити релятивістські поправки першого порядку

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

де ${\displaystyle \psi ^{0}}$ — незбурена хвильова функція. Згадуючи незбурений гамільтоніан, ми можемо отримати

${\displaystyle H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-V)\vert \psi ^{0}\rangle }$

Далі ми можемо використати цей результат для обчислення релятивістської поправки:

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )}$

Для атому водню, ${\displaystyle V={\frac {e^{2}}{r}}}$, ${\displaystyle \langle V\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}}$ та ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}}$, де ${\displaystyle a_{0}}$ — борівський радіус, ${\displaystyle n}$ — головне квантове число та ${\displaystyle l}$ — орбітальне квантове число. Звідси випливає релятивістська поправка для атому водню:

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)}$

Поправка спін-орбіталь з'являється, коли ми із стандартної системи відліку (де електрон облітає навколо ядра по еліптичній орбіті) переходимо в систему, де електрон перебуває у стані спокою, а ядро облітає його навколо. У цьому випадку ядро, що рухається, є ефективною петлею із струмом, яка в свою чергу створює магнітне поле. Проте електрон сам по собі має магнітний момент через спін. Два магнітних вектори, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ та ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}}$ зчіплюються разом так, що з'являється певна енергія, яка залежить від їх відносної орієнтації. Так з'являється енергетична поправка типу:

${\displaystyle \Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

• Надтонка структура

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

• Hyperphysics: Fine Structure