Спеціальна теорія відносності

Математичний апарат СТВ оперує з трьома просторовими вимірами Всесвіту та часом як з єдиною чотиривимірною сутністю — простором-часом, або простором Мінковського M. Окремі точки простору-часу символізують події, а фізичним об'єктам відповідають світові лінії, якщо ці об'єкти — точкові частинки, або світовими листами (площинами), якщо ці об'єкти є більшими за точку. Світова лінія або лист описує рух об'єкта (зміну його позиції в просторі-часі), але такий об'єкт може мати й інші фізичні характеристики, такі як енергія, імпульс, маса, заряд та інші.

Ще одним базовим поняттям спеціальної теорії відносності є інерціальний спостерігач (який може й не відповідати якомусь фізичному об'єктові). Кожний інерціальний спостерігач асоційований з інерціальною системою відліку, яка визначає систему координат Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle (x_1,x_2,x_3,t)} для подій в просторі-часі M. Ця система також впроваджує формалізм для опису в координатній формі інших фізичних величин (так звані 4-вектори): ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E/c)}$ для імпульсу та енергії, 4-тензори для електромагнітного поля тощо.

СТВ стверджує, що існує таке перетворення координат, яке встановлює відповідність між координатами однієї інерціальної системи відліку з іншою. Такі перетворення пропонують відповідні рівняння не тільки для просторово-часових координат, але й для енергії, імпульсу та інших фізичних величин.

З другого постулату СТВ випливає, що якщо A та B — дві події з координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ та ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},\tau )}$ в одній інерціальній системі відліку та відповідно ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ і ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},\tau ')}$ в іншій, то справедливе твердження:

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}=c(\tau -t)}$,

тоді й тільки тоді, коли

${\displaystyle {\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}=c(\tau '-t')}$.

У диференціальній формі це твердження еквівалентне інваріантності квадрату приросту просторово-часового інтервалу:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}}$

Другий постулат фактично твердить про те, що об'єкт, який рухається зі швидкістю c в одній інерціальній системі відліку, повинен рухатись з такою ж швидкістю у всіх інших інерціальних системах. Також це означає, що другий постулат може бути виведений з першого постулату та рівнянь Максвела.

Другий постулат може бути підсилений твердженням про інваріантність просторово-часового інтервалу у всіх інерціальних системах відліку. З цього випливає, що

${\displaystyle \quad c^{2}(\tau -t)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}=c^{2}(\tau '-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3}-y'_{3})^{2}}$

для будь-яких двох подій A та B. З цього рівняння безпосередньо можуть бути виведені рівняння перетворень Лоренца.

Постулати СТВ можуть бути викладені за допомогою математичного формалізму псевдо-ріманових многовидів. Зокрема, другий постулат еквівалентний тому, що чотиривимірний простір-час M є псевдо-рімановим многовидом з лоренцевою метрикою g спеціального виду, яка має назву метрики Мінковського. Така метрика залишається справедливою для будь-якої інерційної системи відліку та розглядається як певна фізична величина в СТВ і трансформується певним чином при переході з однієї системи відліку до іншої.

Перший постулат тоді еквівалентний твердженню про те, що усі закони фізики є інваріантними відносно систем відліку, в яких g є метрикою Мінковського.

Перевагою цього формулювання є те, що тепер стає зручнішим порівнювати спеціальну теорію відносності з загальною теорією відносності, в якій обидва постулати зберігаються, крім твердження про те, що метрика повинна залишатись метрикою Мінковського.

У класичній механіці, де ${\displaystyle c\to \infty }$, перший постулат залишається незмінним, але математична форма другого постулату змінюється на:

Якщо A та B — дві події з координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ та ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},\tau )}$ в одній інерціальній системі відліку ${\displaystyle F}$, та з координатами ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ і ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},\tau ')}$ в іншій інерціальній системі відліку ${\displaystyle F'}$, то ${\displaystyle \tau -t=\tau '-t'}$. Далі, якщо ${\displaystyle \tau -t=\tau '-t'=0}$, то

${\displaystyle \quad {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}}$.

Принципу інваріантності просторово-часового інтервалу відповідають перетворення між координатами події при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої, які отримали назву перетворень Лоренца. Для часткового випадку двох систем відліку K та K′, друга з яких рухається зі швидкістю v відносно першої вздовж координати x₁, вони мають вигляд:

${\displaystyle x'={\frac {x_{1}-vt}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}},\quad x_{2}'=x_{2},\quad x_{3}'=x_{3},\quad t'={\frac {t-(v/c^{2})x_{1}}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$,

де ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},t}$ — координати події в системі K; ${\displaystyle x_{1}',x_{2}',x_{3}',t'}$ — координати тієї ж події в системі K′; v — відносна швидкість двох систем; c — швидкість світла.

Наслідком цих співвідношень є те, що відрізки часу й відстані в різних інерційних системах відліку мають різні значення.

Аналогічні перетворення справедливі для будь-якої векторної або тензорної фізичної величини, що задаються 4-векторами й 4-тензорами. Фізичні закони, записані через 4-вектори й 4-тензори, залишаються однаковими у всіх інерційних системах відліку. Така форма запису називається лоренц-коваріантною.

Основні рівняння електродинаміки є лоренц-коваріантними і не потребують жодних модифікацій при переході до теорії відносності. Через 4-тензор електромагнітного поля ${\displaystyle F_{ik}}$ вони записуються так (СГСГ)[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{ik}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial F_{kj}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial F_{ji}}{\partial x^{k}}}=0}$.

${\displaystyle {\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{k}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{i}}$.

де ${\displaystyle j^{i}}$ — 4-вектор густини електричного струму.

Основне рівняння класичної механіки, друге рівняння Ньютона, інваріантне відносно перетворень Галілея. При переході до спеціальної теорії відносності воно змінюється і набирає вигляду[1]:

${\displaystyle {\frac {dp^{i}}{ds}}=f^{i}}$,

де ${\displaystyle p^{i}}$ — 4-імпульс, s — просторово-часовий інтервал, ${\displaystyle f^{i}}$ — 4-вектор сили:

${\displaystyle f^{i}=\left({\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {\mathbf {F} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)}$.

При малих швидкостях релятивістське рівняння руху переходить у класичне друге рівняння Ньютона, але при великих швидкостях з'являються відмінності, завдяки яким рівняння стає лоренц-інваріантним.

Схематичне зображення світлового конуса. Точка А — точка спостерігача, точка В — одна з точок абсолютного майбутнього, точка С — сучасна подія щодо спостерігача в одній із інерційних систем відліку.

Спеціальна теорія відносності встановлює максимальну можливу швидкість руху тіла — швидкість світла. Ця швидкість задає також максимально можливу швидкість передачі сигналу. Швидкість світла — це універсальна фізична стала, що входить до рівнянь Максвела. Реальна швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль, тобто світла, в реальному вакуумі близька до неї, але не дорівнює їй точно[2].

Оскільки швидкість розповсюдження сигналу скінченна, то певна подія, що відбулася в певній точці простору в певний момент часу, не може вплинути на іншу подію в іншій точці простору в інший момент часу, якщо між ними не встигне пройти сигнал. Теорія відносності відкидає принцип далекодії, на якому побудована Ньютонівська механіка, заміняючи його принципом близькодії.

Подія, що відбулася в точці простору з координатами ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ у момент часу ${\displaystyle t}$, може вплинути на подію, що відбулася в точці ${\displaystyle x_{1}',x_{2}',x_{3}'}$ у момент часу ${\displaystyle t'}$, якщо

${\displaystyle c|t-t'|>{\sqrt {(x_{1}-x_{1}')^{2}+(x_{2}-x_{2}')^{2}+(x_{3}-x_{3}')^{2}}}}$.

Просторово-часовий інтервал є інваріантом відносно перетворень Лоренца, а тому ця нерівність справедлива одночасно в усіх інерційних системах відліку. Такі події називають розділеними часоподібним інтервалом. Якщо ${\displaystyle t'>t}$, то друга подія (позначена штриховими координатами) відбувається в абсолютному майбутньому відносно першої. Якщо ${\displaystyle t'<t}$, то друга подія відбувається в абсолютному минулому відносно першої.

Якщо ${\displaystyle c|t-t'|<{\sqrt {(x_{1}-x_{1}')^{2}+(x_{2}-x_{2}')^{2}+(x_{3}-x_{3}')^{2}}}}$,

то сигнал від першої події не може досягнути другої події, отже перша подія не може вплинути на другу. Говорять, що такі події розділені простороподібним інтервалом. Приналежність інтервалу до простороподібних є інваріантом, а от послідовність подій в простороподібному інтервалі — відносна, тобто залежить від системи відліку. Якщо t' > t в одній системі відліку, то можна знайти іншу систему відліку, в якій ця нерівність буде протилежною. Майбутнє й минуле для простороподібного інтервалу між подіями не є абсолютним.

Рівняння

${\displaystyle c|t-t'|={\sqrt {(x_{1}-x_{1}')^{2}+(x_{2}-x_{2}')^{2}+(x_{3}-x_{3}')^{2}}}}$

задає світловий конус, який розмежовує області простору, події між якими можуть бути причинно зв'язані від областей простору, де причинний зв'язок неможливий.

До появи теорії відносності електромагнітна хвиля уявлялась подібною до інших хвиль, наприклад, звукових, як хвиля зміщень в ефірі. Теорія відносності відкидає існування ефіру. Отже, електромагнітне поле розповсюджується не в середовищі, а в просторі, й тому набуває сутності, матеріальності.

У рамках нерелятивістської фізики два заряди, що взаємодіють між собою за законом Кулона, миттєво відчувають зміщення один одного. В релятивістській фізиці, заряд відчуває зміщення іншого тільки через деякий час, потрібний для того, щоб від одного тіла до іншого дійшла електромагнітна хвиля. Це явище називається запізнюванням. Крім того, для передачі взаємодії потрібен посередник. Для заряджених тіл, таким посередником є електромагнітна хвиля, для гравітаційної взаємодії таким посередником повинно бути збудження гравітаційного поля — гравітаційна хвиля.

Одним з наслідків спеціальної теорії відносності є те, що енергія тіла та її імпульс утворюють 4-вектор, квадратична форма якого є інваріантом, тобто не залежить від системи відліку:

${\displaystyle E^{2}/c^{2}-p^{2}=m^{2}c^{2}}$.

У системі відліку, зв'язаній з тілом, його імпульс дорівнює нулю, і:

${\displaystyle E=mc^{2}}$,

що є знаменитою формулою Ейнштейна.

Значення цієї формули в тому, що вона встановлює шкалу відліку енергії. До спеціальної теорії відносності енергія тіла визначалася тільки з точністю до довільної сталої. Спеціальна теорія відносності зв'язує мінімальну енергію тіла ${\displaystyle mc^{2}}$ з його масою.

Одним із наслідків спеціальної теорії відносності є те, що фізичні процеси в тілі, що рухається на погляд нерухомого спостерігача відбуваються повільніше. Якщо певний процес в рухомій системі триває час ${\displaystyle \Delta t}$, то для нерухомого спостерігача він протікає за час

${\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}>\Delta t}$,

де v — швидкість відносного руху.

Особливістю цього твердження є те, що з точки зору спостерігача в «рухомій» системі відліку аналогічне сповільнення процесів відбувається в «нерухомій» системі відліку, оскільки рух є відносним. Це породжує парадокс близнюків, розв'язання якого полягає в тому, що обидва спостерігачі можуть звірити свої годинники тільки тоді, коли швидкості руху їхніх систем відліку вирівняються, для чого принаймні одному з них доведеться рухатися з прискоренням, а опис прискореного руху виходить за рамки спеціальної теорії відносності.

Довжина предмета, що рухається, в будь-якій інерційній системі відліку менша, ніж у системі, пов'язаній з тілом:

${\displaystyle l=l_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$,

де ${\displaystyle l_{0}}$ — довжина тіла в системі, зв'язаній з ним, ${\displaystyle l}$ — довжина в рухомій системі, ${\displaystyle v}$ — швидкість рухомої системи відносно системи, зв'язаної з тілом.

Скорочення відбувається тільки з виміром тіла вздовж напрямку руху. Два інші виміри залишаються незмінними.

Один із ключових ефектів СТВ стверджує, що одночасність подій у Всесвіті залежить від спостерігача.