Система відліку

У цьому випадку система відліку — це деяка фіксована точка простору О, прив'язана до деякого фізичного об'єкта, що називається тілом відліку. Положення іншої матеріальної точки в такому випадку задається вектором r, що починається в точці О і закінчується у питомій точці. Такий вектор називають радіус-вектором[1].

Якщо за період ${\displaystyle \Delta t}$ вектор положення точки змінився з r₀ на r₁, то вектор ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{0}} }$ називається вектором переміщення. А величина ${\displaystyle \langle \mathbf {v} \rangle ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}}$ називається середнім вектором швидкості за час ${\displaystyle \Delta t}$. Якщо ${\displaystyle \Delta t\to 0}$, ця величина називається моментальною швидкістю: ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$. Скалярна швидкість дорівнює довжині цього вектора. Аналогічно можна визначити прискорення як ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$[2].

Якщо система відліку включає, окрім початкової точки деяку тривимірну систему координат, що може бути декартовою, косокутною або криволінійною. У такому випадку положення точки задається трьома числами. У випадку декартових координат їх позначають як x, y і z. У такому випадку кожне з записаних вище рівняннь розпадається на три, відповідно до окремих координат[3]. Наприклад:

${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}}$

${\displaystyle v_{y}={\frac {dy}{dt}}}$

${\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}}$

Модуль швидкості у такому випадку обчислюється як:

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

Інерційна система відліку прив'язана до тіла, яке рухається без прискорення і без обертання. Згідно першого закону Ньютона, таким чином рухається тіло, на яке не діють ніякі зовнішні сили. Інерційні системи відліку мають значні переваги перед неінерційними, оскільки у них закони механіки є значно простішими[4].

Існує нескінченна кількість систем відліку, що рухаються одна відносно одної рівномірно і прямолінійно у різних напрямках[5].

У неінерційних системах, що прив'язані до тіл, що рухаються з прискоренням, у рівняннях руху з'являються фіктивні сили або сили інерції, що не пов'язані ні з якою реальною взаємодією, а лише з вибором системи відліку[5]. Такими силами є, наприклад, відцентрова сила, сила Коріоліса, або сили, які ми відчуваємо у транспорті при розгоні або гальмуванні.

Хоча у ньютонівській механіці усі інерційні системи відліку є рівноправними (цей постулат називається принципом відносності Галілея), до 20 століття вважалося, що існує особлива, «справжня» система відліку, пов'язана з самим простором (або навіть з Богом). Таку система відліку називали абсолютною системою відліку. Зазвичай її прив'язували до ефіру — гіпотетичного середовища, що заповнює весь Всесвіт. Інший спосіб визначити абсолютну систему відліку запропонував Мах: він вважав, що густина матерії у Всесвіті зменшується при віддаленні від деякої точки, тобто, що у Всесвіту є центр мас. Систему відліку, пов'язану з ним, Мах і вважав абсолютною[6].

У 20 столітті, після створення спеціальної теорії відносності, стало зрозуміло, що концепт абсолютної системи відліку не має сенсу — її не існує, як не існує і ефіру. Нескінченність Всесвіту унеможливила і інтерпретацію Маха.

У ЗТВ вводиться поняття локально інерціальної системи відліку, що пов'язана з тілом, що знаходиться у стані вільного падіння. У такій системі відліку гравітацією можна повністю знехтувати, і усі тіла рухаються рівномірно і прямолінійно [7]. Проте такі властивості система буде мати лише якщо використовувати її на обмеженій ділянці простору-часу. Для будь-яких віддалених точок у гравітаційному полі, тіла що знаходяться у цих точках зазнають дії припливних сил. Розміри локально інерційної системи відліку залежать від необхідної точності вимірювань і кривини простору-часу. Наприклад, локально інерційна система відліку, прив'язана до тіла, що падає у гравітаційному полі Землі, може використовуватися в області простору-часу 100 м×100 м×100 м×3 с, якщо допустима похибка вимірювання перевищує 1,7 мм[8].

У класичній механіці координати у двох системах, одна з яких рухається зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ відносно іншої перетворюються за наступним законом:

${\displaystyle x'=x-V_{x}t}$

${\displaystyle y'=y-V_{y}t}$

${\displaystyle z'=z-V_{z}t}$

${\displaystyle t'=t}$

Ці рівняння називаються перетвореннями Галілея.

Відповідно, якщо тіло має швидкість ${\displaystyle \mathbf {v} '}$ і прискорення ${\displaystyle \mathbf {a} '}$, у системі відліку ${\displaystyle K'}$, що рухається прямолінійно відносно іншої системи відліку ${\displaystyle K}$ зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ і прискоренням ${\displaystyle \mathbf {A} }$, швидкість тіла у системі дорівнюватиме[9]:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} '+\mathbf {V} }$

а прискорення

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {A} }$

Тобто, наприклад, якщо ми заміряємо швидкість тіла у потязі, що їде, швидкість тіла відносно Землі дорівнює векторній сумі виміряної швидкості тіла і швидкості самого потягу.

У випадку, якщо система ${\displaystyle K'}$ обертається з кутовою частотою ${\displaystyle \omega }$ відносно нерухомої (відносно першої системи) осі (обертова система відліку), то перетворення набувають вигляду (за умови, що початкові точки відліку обох систем збігаються, тобто, радіус-вектори усіх точок однакові в обох системах)[10]:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} '+[\mathbf {\omega } \mathbf {r} ]}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+2[\mathbf {\omega } \mathbf {v} ']+[\mathbf {\omega } [\mathbf {\omega } \mathbf {r} ]]}$

у рівнянні для перетворення прискорення другий доданок називається прискоренням Коріоліса а третій — відцентровим прискоренням[11].

Лінійні відстані між точками а також проміжки часу між подіями у класичній механіці ніяк не залежать від вибору системи відліку.

У релятивістській механіці, координати перетворюються за більш складним законом (при русі вздовж координати х зі швидкістю V)[12]:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {Vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-Vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, а ${\displaystyle \gamma }$ — фактор Лоренца:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$

Тобто, у СТВ відстані між точками і тривалість часових інтервалів — не є інваріантами, а змінюється в залежності від вибору системи відліку. Також, одночасність також є відносним поняттям — події, що відбулися в один і той самий момент у одній системі відліку, можуть відбутися в різні моменти часу, якщо перейти в іншу систему. Інваріантами є лише інтервали між двома подіями у просторі-часі[12]:

${\displaystyle s_{12}^{2}=t_{12}^{2}c^{2}-x_{12}^{2}-y_{12}^{2}-z_{12}^{2}}$,

де ${\displaystyle t_{12},x_{12},y_{12},z_{12}}$ — час між двома подіями а також відстань між ними у просторі

У випадку малих швидкостей перетворення Лоренца сходяться до перетворень Галілея (або ж, що те саме, перетворюються на них якщо прийняти швидкість світла нескінченною)[12].

Швидкості у цьому випадку перетворюються за законом[13]:

${\displaystyle v_{x}'=v_{x}{\frac {v_{x}-V}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{y}'=v_{y}{\frac {1-V^{2}/c^{2}}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{z}'=v_{z}{\frac {1-V^{2}/c^{2}}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

Якщо ${\displaystyle v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}}$, то це рівняння буде виконуватися і при переході в будь-яку іншу систему відліку. Тобто, швидкість світла є однаковою для будь-якого спостерігача. Це твердження є одним з постулатів спеціальної теорії відносності[14].